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#1 18-03-2011 11:44:33
- Valentin
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problème de probabilité!
Bonjour à tous,
J'ai un problème de probabilité qui me pose problème. Voici le sujet:
Une urne contient des jetons numérotés de 1 à k en proportion [tex]{p}_{i}[/tex] [tex]\left(0<{p}_{i}<1\right)[/tex] (Autrement dit, pour [tex]1\leq i\leq k[/tex], la proportion de jetons ayant pour numéro i est [tex]{p}_{i}[/tex] ). On effectue n tirages avec remise. On note [tex]{N}_{i}[/tex] le nombre des jetons tirés portant le numéro i. On supposera que [tex]k\geq 2[/tex].
1) Déterminer la loi de [tex]{N}_{i}[/tex]
2) Pour [tex]i\noteq j[/tex] (i différent de j), déterminer la loi de [tex]{N}_{I}+{N}_{j}[/tex] .
3) Soit Z le nombre aléatoire égal au "nombre de numéros qui n'ont pas été tirés". Exprimer Z sous la forme : [tex]Z=\sum^{k}_{i=1}{X}_{i}[/tex] où les [tex]{X}_{i}[/tex] sont des variables de Bernoulli dont on donnera des paramètres respectifs.
C'est à ces questions que je suis bloqués. Je vous remercie déjà d'avance.
Valentin
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#2 18-03-2011 14:29:04
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : problème de probabilité!
Salut,
la loi de [tex]N_i[/tex] est une binomiale de paramètres [tex]p_i,\;n[/tex]
La loi de la somme de deux binomiales indépendantes est une binomiale de paramètres [tex]p_i+p_j,\;n[/tex]
A suivre ...
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#4 18-03-2011 20:31:12
- Groupoid Kid
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Re : problème de probabilité!
Yop Valentin,
Une urne contient des jetons numérotés de 1 à k en proportion [tex]{p}_{i}[/tex]
Il s'agit de ce [tex]{p}_{i}[/tex]-là. C'est la définition même des paramètres d'une loi binomiâle, si je ne m'abuse.
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#5 18-03-2011 20:54:24
- freddy
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Re : problème de probabilité!
Yop groupoid kid,
bienvenue au club ... Il est comme ça, valentin, il pose des questions puis oublie les termes de la question qu'il a posée.
Cela donne des conversations assez ubuesques, limite pataphysique. Je pense que tout n'est pas bien câblé au grenier, mais bon, les sujets sont en général sympa, des fois un peu "ouf" !
Regarde un peu le sujet d'analyse qui a a fait couler bcp d'encre, c'est un morceau d'anthologie !
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#9 23-03-2011 13:32:18
- Valentin
- Membre
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- Messages : 143
Re : problème de probabilité!
Salut freddy Groupoid Kid,
Pour la 1) c'est effectivement la définition d'une binomiale : pi est donnée et i varie de 1 à k. Donc, on a:
[tex]P\left({N}_{i}=k\right)=\sum^{k}_{i=1}{C}^{i}_{k}{p}^{k}_{i}{\left(1-{p}_{i}\right)}^{k-i}[/tex]
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#10 23-03-2011 14:28:05
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : problème de probabilité!
Re,
fais attention aux notations Valentin !
Rappel : on tire n fois avec remise dans l'urne, donc on écrit la proba que N(i)=p numéros (i) comme suit :
[tex]\Pr\left({N}_{i}=p\right)={C}^{p}_{n}{p}^{p}_{i}{\left(1-{p}_{i}\right)}^{n-p}[/tex]
avec le nombre p compris entre 0 et n !
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