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bouazo

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probabilite et loi de densite

bon voila j'ai le probleme suivant :
X et Y 2 VA independantes de meme loi de densite f(x)=1/x^2* indicatrice(x) (x de 1 a l'infini intervalle ouvert)
on pose
U=XY ,V=X/Y et on me demande de calculer la loi du couple (U,V)

je ne sait pas par ou commencer car dans le cours je n'ai que la relation entre la densite conditionnelle et la densite conjointe et la je n'ai pas de condition d'une Va par rapport a une autre merci de m'eclairer

freddy

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Re : probabilite et loi de densite

Salut mon grand,

je crois qu'il manque quelque chose de fondamental dans ta question (ainsi que dans la précédente), ce quelque chose qui met de l'huile dans les rouages, le soleil dans le regard des gens et le sourire aux lèvres des jolies filles.

Je te laisse chercher et trouver et après,  seulement après, je répondrai à ta question (interessante au demeurant).

(ah oui, j'oubliais : et si tu apprenais, outre les bonnes manières,  à coder en latex, tes énoncés seraient plus clairs, du moins pour moi).

A te lire, mon grand.

bouazo

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Re : probabilite et loi de densite

quelquchose comme quoi par exemple? j'avoue ne pas avoir bien compris mais merci de l'attention quand meme

bouazo

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Re : probabilite et loi de densite

plus clairement ce que je ne comprend pas c'est quant on a deux Va aleatoires defini toutes 2 par une fonction densite de probabilite la densite de probabilite de  XY ou X+Y se calcule comment?

yoshi

Modo Ferox

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Re : probabilite et loi de densite

Re,

je crois qu'il manque quelque chose de fondamental dans ta question (ainsi que dans la précédente), ce quelque chose qui met de l'huile dans les rouages, le soleil dans le regard des gens et le sourire aux lèvres des jolies filles.

quelquchose comme quoi par exemple? j'avoue ne pas avoir bien compris mais merci de l'attention quand meme

Hmmmm.....
Ça, par exemple, peut-être ?    ;-)
                     
                       
Je ne vois pas de bonjour ou bonsoir ou salut...

@+

bouazo

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Re : probabilite et loi de densite

j'avoue que sur la precipitation j'ai oublie desole

freddy

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Re : probabilite et loi de densite

Salut,

je te donne encore une chance.

Dans ton problème, tout repose que le fait que X et Y sont deux va indépendantes.

Donc, tu peux calculer [tex]\Pr(U \le c=ab)=\Pr(X \le a,\; Y \le b) = \Pr(X \le a)\times \Pr(Y \le b)=\left(1-\frac1a\right)\times \left(1-\frac1b\right)[/tex]. je te laisse le soin de vérifier.

Pour V, connaissant la loi de Y, tu en déduis celle de Z=1/Y qui prend ses valeurs dans ]0, 1]. Z et X sont aussi indépendantes, tu devrais alors trouver la loi du produit.

Tu vois mieux ?

bouazo

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Re : probabilite et loi de densite

tout d'abord merci pour la reponse
sur le calcul je suis assez d'accord  mais la cette methode je pense  qu'elle cherche   la loi de U puis de V pour aboutir a celle du couple alors que dans l' enonce on me demande l'inverse c'est a dire de calculer la loi du couple de montrer l'independance du couple ensuite de calculer la loi marginale de U et V (je peux peut etre me tromper car il faut le dire j'ai de gros soucis sur cette partie du cours ou on fait intervenir la loi d'un couple)

Dernière modification par bouazo (14-03-2011 18:31:44)

freddy

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Re : probabilite et loi de densite

Re,

oui, t'as raison, je n'ai pas tout regardé. On remarque simplement que U et V sont étroitement liées puisque U= XY = VY².

Dit autrement, connaissant X et Y, je connais immédiatement U et V. Donc la loi lu couple = celle de U ou celle de V.

je reviens formaliser tout ça !

freddy

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Re : probabilite et loi de densite

Salut,

c'est un poil plus subtil que je ne le pensais, et je n'ai pas trop de temps en ce moment. Je reviens ASAP corriger mes bêtises et donner la soluce.

Rien n'empêche de lire ceci avant toute chose : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ointe.html

Bb

Dernière modification par freddy (16-03-2011 17:13:43)

freddy

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Re : probabilite et loi de densite

Re,

même si Bouazo nous a quitté par manque de savoir-vivre, je vais essayer de finir.

Le post #7 est faux, car on ne peut pas "séparer" les termes du produit comme je l'ai fait.

Pour la va produit U, à l'évidence, on a :  [tex]\Pr\left(U\leq 1\right)=0[/tex]

Ensuite, on a :  [tex]\Pr\left(1 \le U\leq u=xy\right)=\int^{u}_{1}\left(1-\frac{x}{u}\right)\times \frac{dx}{{x}^{2}}=1-\frac{Ln\left(u\right)+1}{u}[/tex] avec  [tex]u\in \left[1,+\infty \right[[/tex]

Pour la va quotient V, on procède à peu près de la même manière. Mais c'est un peu plus compliqué, car il faut distinguer selon que V est supérieur ou inférieur à 1.

On a :  [tex]\Pr\left(V\leq 0\right)=0[/tex]

Ensuite, on a :  [tex]Pr\left(1<V\leq v=\frac{x}{y}\right)=\int^{+\infty}_{1}\left(1-\frac{1}{vy}\right)\times \frac{dy}{{y}^{2}}=1-\frac{1}{2v}[/tex] pour  [tex]v\in \left[1,+\infty \right[[/tex]

Sinon, on a : [tex]Pr\left(0<V\leq v=\frac{x}{y}\right)=\int^{+\infty}_{\frac1v}\left(\frac{1}{vy}\right)\times \frac{dy}{{y}^{2}}=\frac{v}{2}[/tex] pour  [tex]v\in \left]0,1\right[[/tex]

Dernière modification par freddy (23-03-2011 13:07:24)