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#1 07-03-2011 17:47:42
- ramses78
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Expression en fonction de n?
Bonjour,
J'ai trouvé la relation:
à partir de [tex]x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0[/tex]
[tex]y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^{n}} solution[/tex]
[tex]a_0=0[/tex]
[tex]a_n=\frac{a_n_-_2}{(n-1)(n-2)}[/tex] si n>=3
Pouvez vous me montrer comment on retrouve la relation de [tex]a_n[/tex] uniquement en fonction de n ?
je suppose que c'est par itération mais je n'arrive pas..
Merci
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#2 07-03-2011 17:51:29
Re : Expression en fonction de n?
Salut,
Ta relation de récurrence exprime [tex]a_n[/tex] en fonction de [tex]a_{n-2}[/tex]. Il te faut donc non seulement la valeur de [tex]a_0[/tex] mais également celle de [tex]a_1[/tex] pour conclure.
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#4 07-03-2011 20:17:16
Re : Expression en fonction de n?
Salut,
Autant pour moi, je me suis gourré dans la réponse. Je reprends point par point...
* La relation définissant ta suite est du type [tex]a_{n+2} = f(a_{n})[/tex]. Les valeurs paires et impaires de la suite sont dont indépendantes. Tu dois donc obtenir deux relations : une pour les valeurs paires de n, l'autre pour les valeurs impaires de n.
* Pour les n pairs, calcules à la main [tex]a_2[/tex], [tex]a_4[/tex] et [tex]a_6[/tex]. Tu ne remarques rien ?
* Pour les n impairs, effectivement, [tex]a_1[/tex] peut prendre n'importe quelle valeur. C'est normal : ton équation différentielle est homogène.
* Essaie de calculer [tex]a_n[/tex] en fonction de [tex]a_{n-4}[/tex], puis de [tex]a_{n-6}[/tex]. Tu ne remarques rien ? Une fois que tu auras vu à quoi ressemble ce que tu dois trouver, tu le trouveras plus facilement. (Je te donnerai le détail quand tu auras déjà digéré tout ça.)
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#8 08-03-2011 12:15:47
- ramses78
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Re : Expression en fonction de n?
Bonjour, il y a la suite,
On demande le rayon de convergence, je trouve R=+ [tex]\infty[/tex]
et aussi l'expression des solutions de l'équation différentielle de départ développables en séries entière à l'aide de fonctions usuelles (sans symbole de sommation)
Pour le cas paire: je trouve
y(x)=- [tex]a_1[/tex]( [tex]x^3[/tex] +[tex]\frac{1}{3}[/tex] [tex]x^4[/tex]+.... +[tex]\frac{1}{n-1}[/tex] [tex]x^n[/tex]
je devrais pouvoir simplifier si c'est juste je pense...
Et enfin en déduire toutes les solutions de l'équation.
?
J'attends de vos nouvelles..merci
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#9 08-03-2011 15:14:08
Re : Expression en fonction de n?
Salut,
* Expressions de [tex]a_n[/tex] : c'est bon, mais vérifies que tu ne puisses pas exprimer [tex]a_2[/tex] en fonction de [tex]a_0[/tex]. J'ai un doute sur la condition [tex]n \geq 3[/tex] dans ton expression de [tex]a_{n}[/tex] en fonction de [tex]a_{n-2}[/tex].
* Rayon de convergence : OK aussi.
* Tu as oublié la factorielle dans l'expression de [tex]y(x)[/tex]. Une fois l'erreur corrigée, cela devrait aller mieux.
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#10 08-03-2011 22:37:29
- ramses78
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Re : Expression en fonction de n?
bsr, oui tu as raison j'ai oublié 2!
y(x)=- [tex]\frac{a_1}{2!}[/tex]( [tex]x^3[/tex] +[tex]\frac{1}{3}[/tex] [tex]x^4[/tex]+.... +[tex]\frac{1}{n-1}[/tex] [tex]x^n[/tex]).
Pour la valeur de n, l'énoncé dit bien n [tex]\geq[/tex] 3.
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