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Picatshou

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base et forme quadratique

Bonsoir les amis ,si un espace G=vect(e1,e2) tq e1 et e2 sont libres est ce que cet espace  est  de dimension 2?

soit E un e v de dim n (v1,...,vn) base de E et (v1*,........,vn*) sa base duale
Y une forme quadratique sur E et w sa forme polaire .soit P={x  [tex]\in [/tex]  E tq  [tex]\forall [/tex] i, vi*(x)>=0}
on a  [tex]\forall [/tex] x [tex]\in [/tex]P Y(x)>=0 et que [tex]\forall i \neq j,\ w(v_i,v_j)\leq 0[/tex]
je veux montrer que P [tex]\cap [/tex] kerY engendre kerY
bon j'ai supposé qu'il existe un x dans l'intersection et j'ai montrer que  [tex]\forall [/tex] t  [tex]\in [/tex] ker Y t=ax;  mais je trouve que w(0,y)=0 tq  y [tex]\in [/tex] E et on a Y est positive  donc Y(y)>=0 donc y=0
dans quelle mesure ma réponse est juste ?
merci d'avance pour ce qui puisse m'aider et corriger mes fautes ! :)

Dernière modification par Picatshou (23-02-2011 18:17:20)

Groupoid Kid

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Re : base et forme quadratique

Salut Picatshou

Tu devrais déjà commencer par t'aider toi-même en écrivant un énoncé clair et sans fautes ;-) Il m'a bien fallu 10 minutes pour te déchiffrer !

Pour la première question, je te répondrai par ceci: quelle est la définition de la dimension d'un espace vectoriel ?

Pour la seconde, j'y ai passé un bon moment et je sèche également. C'est probablement une astuce bête, mais comme j'ignore ton niveau et le contexte du problème, je n'ai aucune idée de comment l'attaquer (calcul matriciel, polytope dual, Hahn-Banach, classification des formes quadratiques, réduction d'un K[X]-module, que sais-je). Tu travailles bien dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ?

On va déjà simplifier ton énoncé, en enlevant cette base duale qui nous complique la vie. (Je soupçonne qu'elle ait une très bonne raison pour être là, mais passons). On reprend :
1- [tex]E[/tex] est un espace vectoriel de base [tex](v_1,\ldots,v_n)[/tex]
2- [tex]P[/tex] est son quadran positif : [tex]P=\{\Sigma_i x_i v_i\ /\ \forall i,\ x_i\geq 0\}[/tex]
3- [tex]Y:E\to\mathbb{R}[/tex] est une forme quadratique sur [tex]E[/tex], de polaire [tex]w:E^2\to\mathbb{R}[/tex]
(tiens, question au passage: la polaire c'est pas plutôt [tex]E\to E^*[/tex] ? Je suis un peu rouillé)
4- Elle est positive partout dans [tex]P[/tex]
5- Elle vérifie une relation bizarre : [tex]\forall i \neq j,\ w(v_i,v_j)\leq 0[/tex]
Ah bin déjà on a de bons exemples de ça à disposition : [tex]\mathbb{R}^n[/tex] avec sa base et sa forme euclidienne canoniques ^^ Avec la forme [tex]Y=0[/tex] ça marche aussi, et déjà c'est plus fin. (Il me semble que tous les autres exemples découlent de ceux-ci, choix de la base mis à part)

Je suppose que par "ker Y", tu désignes bien le noyau de la forme quadratique, et pas son cône isotrope ? Ça change grandement la question, mais je crois qu'avec le cône il y a des contre-exemples.

bon j'ai supposé qu'il existe un x dans l'intersection

Inutile de le supposer, je t'en donne un si tu veux : 0 est dans l'intersection, mais ça ne nous avance guère O_o On te demande précisément de montrer quelque chose pour les éléments qui ne sont PAS dans l'intersection : il s'agit de montrer que les éléments de [tex]Ker(Y)\setminus P[/tex] sont combinaisons linéaires de ceux de [tex]Ker(Y)\cap P[/tex].

j'ai montrer que  [tex]\forall[/tex] t [tex]\in[/tex] ker Y t=ax

Autrement dit tu viens de montrer que le noyau de [tex]Y[/tex] est engendré par [tex]x[/tex] tout seul, donc est de dimension maximale 1. Or le cas de [tex]Y=0[/tex] montre que ce n'est pas vrai en général. En fait tu ne t'en sortiras pas uniquement avec des multiples, il faudra impérativement faire des combinaisons linéaires : encore une fois, c'est le cas dans l'exemple [tex]Y=0[/tex].

Pour les experts, si vous avez trouvé un exemple de telle configuration avec une f.q. non positive je suis preneur. Je n'ai regardé qu'en basse dimension avec la classification complète, et à chaque fois les formes non positives n'admettent pas de telles données (base qui/que + polytope inclus dans le cône positif).

Appelons [tex]K=Ker(Y)[/tex] et notons [tex]k[/tex] sa dimension. Le polytope [tex]P[/tex] est une intersection de demi-espaces, e.g. les [tex]\{v^*_i\geq 0\}[/tex]. Son intersection avec le sous-espace [tex]K[/tex] est donc un polytope obtenu à l'aide des équations induites. C'est ici que je sèche : je n'arrive pas à obtenir une forme simple des équations de frontière du polytope induit [tex]Q=P\cap K[/tex], ni à utiliser la "condition bizarre" autrement que sur les dessins.

La piste que j'ai suivie était : il y a [tex]n[/tex] équations définissant [tex]Q[/tex], mais [tex]K^*[/tex] n'est que de dimension [tex]k[/tex]. J'ai tenté des jeux de dualité/prédualité, mais ça n'a rien donné.

Dis-moi déjà si tu comprends ce que je dis et ce que tu as tenté d'autre, et on verra pour la suite ^^

Dernière modification par Groupoid Kid (22-02-2011 23:31:43)

Picatshou

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Re : base et forme quadratique

bonsoir Groupoid kid, merci de me répondre et je suis désolé je n'ai pas fait attention à l'énoncé ,bon je l'est corrigé ci dessus :) ,en effet je n'ai pas compris ce que vous avez fait ?
merci si vous pouvez m'aider encore une fois (j'ai corrigé l'énoncé si dessus ) :) merci d'avance!

Groupoid Kid

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Re : base et forme quadratique

Ok, je vois ^^ As-tu au moins essayé de regarder les exemples que je t'ai donnés ?

Analysons ensemble l'énoncé. On a un ev muni d'une forme quadratique. C'est l'objet le plus compliqué de l'énoncé, donc on se met en bonnes conditions pour le simplifier : d'après la réduction de Gauss (ou l'inertie de Sylvester, c'est pareil), il existe une base [tex](e_1,\ldots,e_n)[/tex] de E dans laquelle Y est une somme de carrés (munis de signes) :
[tex]Y(u_1,\ldots,u_n) = -u_1^2 - \ldots - u_p^2 + u_{p+1}^2 + u_{p+q}^2 + 0[/tex]
où n = p+q+k, avec k la dimension du noyau de Y. Là-dessus on nous donne une autre base de E, qui elle peut être disposée n'importe comment par rapport à Y, mis à part la "condition bizarre". Dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] muni de Y = produit scalaire standard, cette condition dit que les vecteurs de la base [tex](v_1,\ldots,v_n)[/tex] forment tous des angles obtus, comme par exemple les branches d'une molécule d'eau en dimension 2, ou celles d'une molécule d'ammoniac en dimension 3.

On se sert de cette base bizarre pour générer un certain polytope P, i.e. un polygone généralisé (avec des faces, des arrêtes, etc, mais ici un seul sommet : 0). En dimension 2 c'est un "quart de plan" ([tex]\{x_1\geq 0, x_2\geq 0\}[/tex]), en dim 3 un "huitième d'espace", etc. On nous dit alors que Y est partout positive sur P, autrement dit que P est inclus dans le cône positif de Y (ce qui restreint nettement les possibilités).

Ensuite la question : on coupe P suivant le noyau K de Y. On obtient une certaine figure dans K qui est elle aussi un "polygone généralisé", que j'ai appelé Q. On te demande de montrer que les éléments de Q engendrent l'espace K tout entier.

On prend donc un élément x quelconque dans K\Q, le but du jeu est de montrer qu'il est combinaison linéaire des éléments de Q.

C'est là que plusieurs méthodes se présentent, algébriques ou/et topologiques... et c'est là que je t'ai demandé dans quel contexte tu as eu cette question : est-ce un problème d'examen, un exercice ? quel est le titre du chapitre, quels théorèmes as-tu étudiés ? Si c'est de la géométrie projective ou algébrique, ça change grandement l'angle d'attaque !

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : base et forme quadratique

Bonsoir :

Je  pense  que   la  question  est  incomplète  ou  qulque chose  comme  ça

En  effet   ;  voici  un  contre  exemple :

On prends [tex] E={\mathbb R}^2[/tex] et  sa  base  canonique  [tex]\mathcal B=(v_1,v_2) [/tex]    avec  [tex]v_1=(1,0) [/tex] et  [tex]v_2=(0,1) [/tex].
On  considère  la  forme  quadratique  [tex]Y [/tex]  définie par  : Pour [tex]x=(x_1,x_2) \in E [/tex] on  pose  : [tex] Y(x)=-(x_1+x_2)^2[/tex].  Sa  forme  polaire est  définie par : [tex]w(x,x')=-(x_1 + x_2)(x'_1+x'_2) [/tex] pour  tout  [tex](x,x') \in E^2 [/tex] tel  que  [tex]x=(x_1,x_2) [/tex]  et  [tex]x'=(x'_1,x'_2) [/tex].
Le  noyau  de [tex] Y [/tex]  est  la  droite  d'equation [tex]x_1+x_2=0 [/tex]
(on  rappel  que  [tex]\ker Y= \{x \in E  / \forall y \in E  \quad w(x,y)=0 \}[/tex] : c'est en quelque  sorte  l'orthogonale  de  [tex] E [/tex] par rapport  à  la  forme  quadratique  [tex] Y[/tex]  )
On  a  bien  : [tex]Y(e_1,e_2) <0 [/tex].
On  a [tex]P=\{(x_1,x_2) \in E / x_1 \geq 0   et  x_2 \geq  0 \} [/tex]  si  bien  que [tex]\ker Y  \cap P=\{(0,0)\} [/tex] et  par  suite   [tex]\ker Y \cap P[/tex] ne  peut  engedre  la  droite [tex]\ker Y[/tex].

Sauf erreur bien entendu !

En  fait  l'idée  est  que  d'après cette question tout noyau possible  de  [tex]Y[/tex]   doit  couper  [tex]P[/tex]  en  des  points  non  nuls 
Mais  si  on  prends  par  exemple  des  hyperplans   [tex]H[/tex] dont  l'équation  est  de  la forme : [tex]\sum_{i=1}^n a_i x_i=0 [/tex]  où  le s  [tex]a_i[/tex]  sont  des  réels strictement positifs   alors  ces  hyperplans  coupent  [tex]P[/tex]  uniquement  en  l'origine...
Or  il  existe bien  des   formes  quadratiques dont  le  noyau  est  [tex]H[/tex]
Il  suffit  en  effet  de  poser  :  [tex]w(x,y) = - L(x)L(y)[/tex]   où  [tex] L[/tex]  est  la  forme  linéaire  définie  par  [tex] L (x) =\sum a_i x_i [/tex]   (forme  linéaire  non  nulle  dont  [tex]H[/tex]  est  le  noyau )  et  il  est  aisé  de  voir  que  [tex]\ker Y =H[/tex]  et  que  [tex]w(v_i,v_j)=-L(v_i)L(v_j)=-a_iaa_j<0 [/tex]   pour  tout  [tex]i,j[/tex]  différents  avec  bien  entendu  [tex](v_i)_i[/tex]   la   une  base  où  on  a  exprimé  les coordonées  [tex]x_i[/tex]      figurant  dans  l'équation  de  [tex]H [/tex]

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (28-02-2011 00:48:01)

Groupoid Kid

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Re : base et forme quadratique

Arf, flûte, je croyais que tu avais trouvé :-/

Je n'avais pas pensé au fait que le signe négatif peut permettre aux sous-orthogonaux d'être du même côté de l'hyperplan... mais ici c'est exclu ! Il y a un souci dans ton exemple : P n'est pas inclus dans le cône positif de Y (forcément puisque ton Y n'a PAS de cône positif ^^). Et évidemment, si on prend -Y ça ne marche plus, puisque la condition de sous-orthogonalité est alors perdue.

Il est impératif que Y ait un (gros) cône positif, et que les vecteurs de base soient dedans ou lui soient tangents (i.e. contenus dans le cône isotrope).

Dernière modification par Groupoid Kid (28-02-2011 06:38:46)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : base et forme quadratique

Bonsoir

Merci !

Tu as  raison, je  n'ai  pas  bien  vu  que  P inclus  dans  le  cône  positif  de  y

(L'énoncé  est  mal  formulé : 'on  a ..'  fait  croire  que  c'est  lé  début  d'une  réponse  et  pas  une  partie  de  l'énoncé ...)

Alors  je  vais  réexaminer  la  question  avec  cette  condition  supplémentaire ...