Forum de mathématiques - Bibm@th.net

totomm

Invité

nombres 2 utilisé quatre fois

Bonjour,

c'est un petit jeu apparu en 1929 entre mathématiciens :

Disposant de 4 fois exactement le nombre 2, exprimer des nombres entiers en utilisant les symboles mathématiques connus couramment.
exemple : 1 = (2+2) / (2+2)
ou encore 4 = 2 + 2 + 2 - 2. Quels autres entiers saurez-vous exprimer ?

Un certain ..... a résolu brillamment ce challenge, de manière imprévue par les auteurs du jeu... !

Référence et source seront données ultérieurement.

Dillon

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Bonjour

Peux-tu donner la liste exhaustive des "symboles mathématiques connus couramment" ?
Sans cette précision, on est parti pour une discussion ou il y aura beaucoup plus de messages pour discuter des symboles acceptables que pour proposer des solutions.

totomm

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re,

tout ce qui est mathématiquement correct est utilisable, mais en dehors de trouver 4 fois le nombre 2, il ne peut y avoir que des symboles (opérateurs comme +, -, *, /, puissances, ou des fonctions connues comme x! ou cos x si vous aimez...., x étant réel ou imaginaire....)
Donner une liste exhaustive des symboles utilisables ne me parait pas possible sans donner de suite la solution....

Personnellement je n'aurais pas trouvé la solution, dont on pense qu'elle aurait dû être "intuitive" seulement après qu'on la connait !

D'ailleurs ce certain ...... a bluffé tous ses collègues mathématiciens. Cette anecdote caractéristique du personnage m'a paru intéressante et d'un bon niveau pour ce forum !

Cordialement

Golgup

Membre actif

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

C'est ridicule.

totomm

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

re,

Etant données leurs contributions scientifiques, je n'oserais pas qualifier de "ridicule" ce petit jeu, pas si innocent mathématiquement qu'il y parait, auquels se livraient les mathématiciens évoqués.

à moins d'être soi-même un contributeur éminent....

cordialement.

golguppp

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Salut

Mais tu dis qu'on peut utiliser tous ce qui est "mathématiquement correct". Or cela n'est qu'invention et fait très souvent intervenir d'autre entier que 2. par exemple (2+2+2+2)! fait intervenir tous les entiers <=8, ce qui déroge à la règle et quand bien même admettons que la factorielle n'existait pas en 1929 (ce n'est sans doute pas le cas, mais admettons) alors  l’ensemble des solutions d'aujourd'hui aurait changé n'inscrivant plus le 'jeu' dans le temps  n’étant alors plus q'une chose obsolète.

cela dit je serais tres content que tu prouve le contraire.

++

totomm

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

re,

Je suis plein de respect pour ces scientifiques de 1929, qui ont inventé ce jeu-délassement-compétition !
pour celui qui a donné brillamment une solution respectant les règles énoncées, et générale...

pour la façon dont la solution est exprimée qui, naturellement, est dans une forme toujours valable aujourd'hui.
Forme compréhensible pour un bon élève en scientifique, disons de 18-20 ans.

Enigme intrigante, n'est-ce pas ? et dont on ne doit pas trouver aisément la solution sur Internet !
donc A+ : Cordialement

yoshi

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re,

par exemple (2+2+2+2)! fait intervenir tous les entiers <=8, ce qui déroge à la règle

Désolé Golgup, mais pour une fois, ma foi,  tu es de mauvaise foi... ;-)
En effet, dans ce genre d'exercice, lorsque tu écris ton calcul, tu n'utilises que les nombres donnés, pas dans son exécution, ça me paraît évident (même si c'est un mot dangereux).

Donc, en dehors de 1 et 2, donnés par totomm :
(2+2)-(2+2) = 0
(2+2)-2/2 = 3
(2+2)+2/2 = 5
2*(2+2/2) = 6
[tex]2+2+2+\log_2(2)=7[/tex]
Pour le dernier il y a peut-être 5 fois le nombre 2, mais le 4e n'est là que pour indiquer le log en base 2...
Accepté ou pas ?
..................

A suivre.

@+

nerosson

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Salut à tous,

Cette question me parait aussi valable que n'importe quelle autre posée sur ce site.

Je n'ai pas la prétention d'énumérer toutes les combinaisons que je pourrais imaginer (j'en oublierais certainement) mais je voudrais seulement savoir si on peut composer un nombre supérieur à celui-ci (pardon de m'exprimer avec des mots) :

factorielle de [(deux puissance deux),puissance deux], puissance deux.

Autrement dit : 256 !

Ma calculatrice refuse de me donner un nombre cohérent.

Dernière modification par nerosson (24-02-2011 15:23:30)

Dillon

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Bonjour

J'ai une autre question à poser à totomm : tu parles de 4 fois le nombre 2. S'agit-il bien du nombre, ou du chiffre ?
En d'autres termes, 22 ou 222 ou 2222 sont-ils acceptables dans une formule ?

totomm

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

re,

Tout est acceptable qui suit les règles : Le résultat est un nombre entier et 2 ne figure que, et exactement, 4 fois.

l'entier 7 de yoshi n'est donc pas accepté, mais....c'est un indice vers la solution du certain ....., scientifique éminent et sûrement connu de vous tous.

nerosson

Membre actif

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Salut à tous,

Il semble que personne n'avait envisagé l'interprétation de Dillon (chiffre 2 et non pas nombre 2).

Personnellement, j'ai la réponse à ma question : je peux aller me rhabiller avec ma factorielle 256 : lui, il a factorielle 2222 !

Mais l'énoncé d'origine disait : "nombre 2".

Dernière modification par nerosson (24-02-2011 15:44:09)

totomm

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

re,

256! est accepté car c'est un entier
La solution générale en donne de plus grands encore...

yoshi

Modo Ferox

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re,

J'ai une solution "générique" :
[tex]\forall a \in \mathbb{N}[/tex], ...a...a...a...a = 1

Exact ?
Mais je n'ai pas de mérite : freddy avait posté une série de calculs, et il y avait une solution à l'un deux qui était voisine de ma solution.

@+

Dillon

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re,

J'ai même factorielle de factorielle de factorielle ... de 2222, il n'y a pas de limite.

Sinon, si un matheux a une fonction dans l'écriture de laquelle ne figure explicitement aucun chiffre et qui, intégrée de moins l'infini à plus l'infini, vaut 1, l'affaire est faite. Il suffit de l'ajouter autant de fois que nécessaire.

Dans le même esprit, pi est un "symbole mathématique connu couramment", personne ne le nie j'espère. J'ajoute donc autant de fois pi/pi que nécessaire. Je me doute bien que ce n'est pas la réponse attendue, mais ça justifie ma question initiale.

Dillon

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re,

yoshi, je dois être bouché. Je ne comprends rien à ta formule. Il est possible d'avoir un complément d'explication ?

totomm

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

re,

il n'y avait aucune limite fixée au jeu de 1929; On dit que des centaines d'heures on été passées sur ce petit jeu
Non plus, donc, n'y a-t-il matière à chipoter sur nombre 2 ou chiffre 2
car la solution générale exprimée cette année là englobe tous les entiers.

Mais dans cette expression mathématique, il faut voir explicitement quatre fois le nombre 2.
Solution demain matin, sauf si vous êtes impatients....

yoshi

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re,

[tex]\forall a \in \mathbb{N}^*[/tex] j'avais oublié le *...
@Dillion : la voici cachée :
log_a(a*log_a(a))=1

Mais je me rends compte que c'est beaucoup de complications pour rien, parce que (a+a)/(a+a) = 1
Pas besoin de chercher midi à 14 h.
Bon, dommage...

@+

golguppp

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Bonjour

Très bien, je propose une solution qui me parait "trivial" (pas dans le sens de l'evidence mais dans le sens que c'est un peu be-bête):

Soit  [tex]E[/tex] l’ensemble des solutions, en nombres entiers, au problème.
et  [tex]f[/tex] une "fonction mathématiquement correcte"

Alors    [tex]\forall n\in \mathbb{N}\notin E,\,\exists[/tex] [tex]f\,[/tex] telle que  [tex]\forall x\in E,\,f\left(x\right)=n[/tex] et donc finalement  [tex]n\in E[/tex]

Ce qui force à ce que l'ensemble des solutions soit tous les entiers

+

yoshi

Modo Ferox

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re,

Là, tu "fabriques" une fonction, je crois avoir lu que tu étais libre de choisir n'importe quelle fonction connue et existante.
Je n'ai pas remis la main sur le post de freddy : je continue à chercher...
Bon, j'ai avancé : maintenant je combine les 4 nombres a pour trouver a...
Solution cachée :
a*(log_a(a))^a = a

Là, je crois que le résultat est moins évident.

@+

Dernière modification par yoshi (24-02-2011 16:57:11)

Dillon

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re

-> yoshi
Tu aimes bien tes log. Pour arriver à faire a avec 4 fois le nombre a, il me semble que a * (a^(a-a)) suffit. Ça me semble plus simple, mais je suis d'accord que la notion de simplicité est affaire de goût.

-> totomm
peux-tu me dire en quoi la suite de formules
[tex]1=\frac{\pi }{\pi }+2-2+2-2[/tex]

[tex]2=\frac{\pi }{\pi }+\frac{\pi }{\pi }+2-2+2-2[/tex]

[tex]3=\frac{\pi }{\pi }+\frac{\pi }{\pi }+\frac{\pi }{\pi }+2-2+2-2[/tex]
etc ...
ne répond pas à ta demande initiale ?
Sans sortir de nouvelle contrainte qui n'était pas indiquée au départ, bien sûr

yoshi

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Salut,

@Dillion. D'accord tu n'utilises bien que 4 fois le nombre 2, mais tu introduis [tex]\pi[/tex]
Moi, j'avais compris que, classiquement, on ne devait utiliser que 4 nombres égaux à 2...

J'ai retrouvé la question de freddy :

6. comment écrire un nombre entier positif quelconque avec un 2 et des symboles mathématiques (pour celle là, je cherche encore, je ne vois pas l'astuce ...) ?

@totomm.
1. Qu'est-ce que tu dis de ça, hein ?
2. Après réflexion, je conteste ta contestation...
Si écrire [tex]log_2(2)[/tex] c'est utiliser 2 fois le nombre 2, alors j'écris :
Je note logd le logarithme à base 2 : je n'ai écrit aucun calcul, simplement posé une notation.
Et maintenant, si j'écris logd(2)=1, je ne vois qu'un seul 2 sinon, l'objection de Golgup avec :
(2+2+2+2)! est parfaitement valide...

@+

totomm

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

re,

Les symboles dont il s'agit au départ sont des opérateurs (+, -, *, ^,....) ou des fonctions mathématiques courantes qui agissent sur chacun des quatre nombres 2, sinon des scientifiques mathématiciens n'auraient pas joué à utiliser [tex]1 = \frac{\pi}{\pi}[/tex] répété n fois pour écrire chaque entier n

A+ cordialement

totomm

Invité

Re : nombres 2 utilisé quatre fois

re

@ yoshi : J'ai déjà répondu que la démarche [tex]Log_2{(2)}[/tex], qui utilise 2 fois le nomre 2,était un bon indice vers la solution. il y faut aussi un petit "suspense". au sens mathématique s'entend, pas au sens de Hitchcok.....et encore un peu plus.

A+

yoshi

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Re : nombres 2 utilisé quatre fois

Re,

D'ac.
Mais je maintiens que [tex]\log_2(2)[/tex] n'utilise pas 2 fois le nombre 2...
[tex]\log_2(2)[/tex] n'est qu'une notation pour le logarithme népérien !
D'autre part [tex]\ln(e)=1[/tex] n'utilise qu'une fois le nombre e. Oui/Non ?
Si tu réponds oui, alors ce n'est pas logique puisque [tex]\ln(e)=\log_e(e)[/tex]...

@+