Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Picatshou

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dérivation de fonction intégrable

Bonjour les amis , soit la fonction suivante que je vais étudier sa dérivabilité
[tex]f(x,t)= \int^ {\pi}_{-\pi}\ln(1+x²-2xcost)dt[/tex]
alors tout d'abord je dois montrer la dérivabilité de la fonction x [tex]\rightarrow [/tex]  g(x,t)=Ln(1+x²-2xcost)
donc pour démontrer l'existence de [tex]\frac{\partial g(x,t)}{\partial x}[/tex] alors j'ai fait ce qui suit:
[tex]\lim_{h \to 0}\;  \frac{\g(x+h,t)-g(x,t)}{\ h} [/tex] =[tex]\frac{\ -2x(1+cost)}{1+x²-2xcost}[/tex] d'où l'existence de la dérivée .
est ce que ce que j'ai fait est juste ou non ou est ce qu'il suffit de dériver la fonction directement? merci d'avance pour ce qui puisse m'aider! :)

Dernière modification par Picatshou (20-02-2011 11:04:05)

Dillon

Invité

Re : dérivation de fonction intégrable

Bonjour

N'étant pas moi-même très calé en maths, j'ai peur de ne pas pouvoir t'aider jusqu'au bout. J'ai quand même quelques remarques :
L'écriture [tex]f\left(x,t\right)=\int^{\pi }_{-\pi }Ln\left(1+{x}^{2}-2x\,\cos \left(t\right)dt\right)[/tex] est une hérésie. Cette fonction n'a pas t comme variable, t est une variable muette utilisée pour la définition de l'intégrale.
Que ta fonction g(x,t) soit dérivable ou non ne change rien à la dérivabilité de f.

Le cas serait très différent si f était de la forme [tex]\int^{x}_{x_0}g\left(t)\right)dt[/tex]  puisque là, effectivement, la dérivée de f serait g. Mais ce n'est pas ton cas.

Dillon

Invité

Re : dérivation de fonction intégrable

Re,

Décidément, je ne maîtrise pas l'écriture des équations malgré le merveilleux outil mis à notre disposition.
J'avais voulu écrire [tex]f\left(x,t\right)=\int^{\pi }_{-\pi }\ln\left(1+{x}^{2}-2x\,\cos \left(t\right)\right)dt[/tex]
et  [tex]\int^{x}_{{x}_{0}}g\left(t\right)dt[/tex]

Fred

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Re : dérivation de fonction intégrable

Bonjour,

  Pour dériver g, tu peux le faire directement.
En revanche, pour dériver sous l'intégrale, il faut que tu vérifies
que tu es dans les conditions d'application du thm...

F.

Picatshou

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Re : dérivation de fonction intégrable

Bonjour,

  Pour dériver g, tu peux le faire directement.

F.

salut mr Fred ,mais pour montrer l'existence d'une dérivée est ce qu'il ne faut pas voir la limite que j'ai écrit ? emrci si vous pouvez m'aider! :)