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undefined

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Sous-espaces vectoriels et projecteurs

Salut, j'ai besoin d'aide pour les questions suivantes :

Comme données j'ai que (u-3Ide)^2o(u+2Ide) =0 (où u est un endomorphisme d'un espace vectoriel réel E)

a) Soit V l'image de (u-3Ide). Vérifier que V est stable pour u. On note u_v (u indice v) l'endomorphisme de V déduit de u.

j'ai traité cette question sans difficulté.

b) justifier que u_v^2 est une combinaison linéaire de Idv et u_v.

Pour celà j'ai modifier l'égalité de départ pour la mettre sous la forme : (u-3Ide)o(u+2Ide)o(u-3Ide)=0.

ce qui permet de voir que V est inclus dans le noyau de (u-3Ide)o(u+2Ide).

ainsi j'obtiens que pour tout vecteur x de V (u-3Ide)o(u+2Ide)(x)=0e

D'où en développant u^2(x)= 6Ide(x) + u(x).

D'où u_v^2= 6Idv + u_v.

c)En déduire que le noyau de u_v - 3Idv et celui de u_v + 2Idv sont des sous-espaces supplémentaires de V.

J'ai réussi à montrer que la somme des deux sous-ev était directe mais je n'arrive pas à exprimer tout élément de V comme somme d'un élément du noyau de u_v - 3Idv et d'un de celui de u_v + 2Idv.

J'ai pensé à me servir de l'égalité de la question précédente en écrivant : Idv = 1/6(u_v^2-u_v)
mais je n'aboutit pas :/.

d)Démontrer que le noyau de (u-3Ide)² et celui de u+2Ide sont supplémentaires (relativement à E).Calculer les projecteurs que définit cette décomposition de E

j'ai montré que la somme était directe mais je n'arrive pas à exprimer tout élément de E comme somme d'un élément de chacun des deux sous-ev, ni à calculer les projecteurs.

Voilà, je m'excuse de la longueur de mon post et merci d'avance pour vos réponses. Je voudrais aussi comprendre la méthode à utiliser pour calculer des projecteurs.

Dernière modification par undefined (06-02-2011 18:31:28)

Fred

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Re : Sous-espaces vectoriels et projecteurs

Salut,

  Ne t'excuse pas pour la longueur de ton post, c'est au contraire très bien d'avoir quelque chose d'aussi précis...
Voici comment on peut faire pour le c).

Je partirais plutôt de :
  [tex](u_V-3Id_V)\circ (u_V+2Id_V)=0[/tex] identité que tu as obtenu à la question précédente.

Tu peux en déduire que [tex]Im(u_V+2Id_V)\subset\ker(u_V-3Id_V)[/tex] et que [tex]Im(u_V-3Id_V)\subset\ker(u_V+2Id_V).[/tex]

Ainsi, il suffit d'écrire tout vecteur de V comme somme d'un élément de [tex]Im(u_V+2Id_V)[/tex] et de[tex]Im(u_V-3Id_V)[/tex] et cela, ce n'est pas trop dur.
Tu peux utiliser par exemple que :
[tex]Id_V=-\frac15(u_V-3Id_V)+\frac 15(u_V+2Id_V)[/tex]

d) En gros, il faut faire pareil.
Tu écris que :
[tex]24Id=(u-3Id)^2-(u+2Id)^2+7(u+2Id)[/tex]
(Attention! j'ai peut-être fait des erreurs de calcul!), d'où tout x de E s'écrit :
[tex]x=y+z[/tex]
avec
[tex]y=(u-3Id)^2(x/24)\in\ker(u+2Id)[/tex]
et
[tex]z=(u+2id)(z_1)\in\ker(u-3Id)^2[/tex]
avec
[tex]z_1=\frac7{24}x-\frac1{24}(u+2Id)x[/tex]

Les projecteurs, tu les as déjà :
La projection sur [tex]\ker(u+2Id)[/tex], c'est l'application qui à x associe y,
c'est-à-dire :
[tex]x\mapsto (u-3Id)^2(x/24)[/tex].

Fred.