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#1 24-01-2011 19:26:29
- Picatshou
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forme quadratique et matrice
bonsoir tout le monde, soit q une forme quadratique non identiquement nulle sur M [tex]2[/tex](R) munit de sa base canonique , tq quelque soit M et N dans M [tex]2[/tex](R) q(M.N)=q(M).q(N)
f est la forme polaire de q
il est demandé de déterminer la matrice A associée à f dans la base canonique alors j'ai trouvé :
A= [tex]\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1/2\\0&0&-1/2&0\\0&-1/2&0&0\\1/2&0&0&0\\\end{array}\right)[/tex]
Dans quelle mesure ma réponse est juste ?
en effet j'ai trouvé une difficulté de montrer que la matrice identité I= [tex]\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right)[/tex] est un vecteur propre de A
vu que A est matrice 4.4 et I est une matrice 2.2
alors j'ai essayé d'utiliser f
j'ai calculé f(I,I) = 1 ce n'est pas égale à a.I pour que I soit vecteur propre ??!!
merci d'avance pour ce qui puisse m'aider !
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#2 25-01-2011 02:01:34
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : forme quadratique et matrice
Bonsoir;
Puisque tu travailles dans le [tex]\mathbb R-[/tex]espace vectoriel [tex]{\mathcal M}_2 ({\mathbb R})[/tex] qui est de dimension [tex]4[/tex], tu peux considérer toute matrice carrée [tex]B= \left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d \end{array} \right)[/tex] comme un vecteur dont la colonne des coordonnées est [tex]X= \left( \begin{array}{c}a\\c\\b\\d \end{array} \right)[/tex] relativement à la base canonique [tex]{\mathcal B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} )[/tex].
Ainsi la matrice unité que tu veux montrer est un vecteur propre est associée à la colonne :[tex]X= \left( \begin{array}{c}1\\0\\0\\ 1\end{array} \right)[/tex].
Tu comprends donc qu'il te faut calculer [tex]AX[/tex] et de verifier qu'il existe un scalaire [tex]\lambda[/tex] tel que [tex]AX= \lambda X[/tex].
N'hésite pas de revenir au cas où tu ne comprends pas.
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (26-01-2011 03:38:00)
#3 25-01-2011 08:34:17
- Picatshou
- Membre
- Inscription : 01-11-2009
- Messages : 272
Re : forme quadratique et matrice
bonjour mouhamed merci pour la réponse ,mais , malgré qu'elle me donne que AI=1/2 I , je ne comprend pas encore pourquoi je peux considérer la matrice comme un vecteur ,et pour mon utilisation de la forme f je croix que normalement les deux méthodes donnent le même résultat alors que non ?
merci beaucoup d'avance pour l'aide! :)
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#4 26-01-2011 03:54:49
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : forme quadratique et matrice
Bonsoir (C'est tard ...mais c'est à cause d'un travail que je viens d'achever)
Bonsoir Picatshou,
Tu a désiré avoir [tex](1) \quad f(I,I)=a I[/tex]
Tu sais bien qu'une forme bilinéaire est défininie de [tex]E \times E[/tex] vers [tex]{\mathbb K}.[/tex]
Il en résulte que [tex]f(I,I)[/tex] est un scalaire et pas une matrice carrée de taille [tex]2.[/tex]
Même si tu avais la relation (1), elle ne traduit en aucun cas que [tex]I[/tex] est un vecteur propre de la matrice [tex]A[/tex]
Une matrice en général est un vecteur car la définition d'un vecteur c'est l'élément d'un espace vectoriel.
On sait que [tex]({\mathcal M}_{n,p} ({\mathbb K}) ,+ , .)[/tex] (operations connues) est un [tex]\mathbb K-[/tex] espace vectoriel de dimension [tex]np[/tex].
En particulire pour [tex]n=p=2[/tex] on a une dimension égale à [tex]4[/tex] : c'est le cas de ton exemple ...
On n'a pas l'énoncé de ton exercice mais il semble qu'il y'a une identification de [tex]{\mathcal M}_2({\mathbb R})[/tex] avec [tex]{\mathcal M}_{4,1}({\mathbb R})[/tex] via l'isomorphisme :[tex]\begin{array}{ccccc}\Psi &:&{\mathcal M}_{2}({\mathbb R})&\to& {\mathcal M}_{4,1}({\mathbb R})\\&&\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d \end{array} \right) &\mapsto&\left(\begin{array}{c}a&c&b&d \end{array} \right) \end{array}[/tex]
ce qui permet de considérer les vecteurs propres éventuels de [tex]A[/tex] comme des matrices carrées de taille [tex]2[/tex] ....
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (26-01-2011 04:04:37)
#5 26-01-2011 10:22:24
- Picatshou
- Membre
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- Messages : 272
Re : forme quadratique et matrice
bonjour Mouhamed , [merci toujours pour l'aide :) ]bon pour l'exercice l'isomorphisme que vous venez de le citer n'existe pas .
donc est ce que je la démontre pour l'utiliser ou non ? juste petite question est ce que l'expression d'une forme quadratique change d'une base à une autre càd si on a deux matrices dans deux bases différentes qui sont associées à la même forme bilinéaire est ce que l'expression de la forme quadratique change ?
merci d'avance pour le support! :)
Dernière modification par Picatshou (26-01-2011 17:13:00)
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#6 27-01-2011 02:25:38
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : forme quadratique et matrice
Bonsoir,
Bonsoir Picatshou et je t'en prie !
Commençons par la dernière question
Soit [tex]E[/tex] un [tex]\mathbb K[/tex] espace vectoriel rapporté à deux bases [tex]B[/tex] et [tex]B'[/tex]
Soit [tex]q[/tex] une forme quadratique sur [tex]E[/tex] dont [tex]A[/tex] et [tex]A'[/tex] sont les matrices respectives dans les base [tex]B[/tex] et [tex]B'.[/tex]
Soit [tex]x \in E[/tex] tel que [tex]x(X)_{B}[/tex] et [tex]x(X')_{B'}[/tex]
On a alors : [tex]q(x)=^t X A X = ^t X' A' X'[/tex]
Si [tex]P[/tex] est la matrice de passage de [tex]B[/tex] à [tex]B'[/tex] alors [tex]X=PX'[/tex] de sorte que : [tex]q(x)=^tX'^tP A PX'[/tex] et comme c'est vrai pour tout [tex]x \in E,[/tex] on a : [tex]A' = ^tPAP[/tex]
C'est la formule qui traduit l'effet d'un changment de base sur l'expression d'une forme quadratique...
Exemple:
[tex]E= {\mathbb R}^2[/tex].
Pour [tex]x=(x_1,x_2)[/tex] et [tex]q(x)=x_1x_2[/tex]
On a :
[tex]x_1x_2 = \frac{1}{4} ((x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2)[/tex]
donc
q(x)= X_1^2-X_1^2 avec [tex]\left(\begin{array}{c}X_1\\X_2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}\frac 12& \frac 12\\ \frac 12& -\frac 12\end{array} \right) \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2 \end{array} \right)[/tex]
on a [tex]x=(x_1,x_2)=x_1 e_1 +x_2 e_2[/tex] avec [tex]e_1=(1,0)[/tex] et [tex]e_2=(0,1)[/tex]
on a
[tex]x= X_1 \omega_1 + X_2 \omega_2[/tex] avec [tex]\omega_1= e_1+e_2[/tex] et [tex]\omega_2 = e_1-e_2[/tex]
Tu peux ainsi poser [tex]B=(e_1,e_2)[/tex] et [tex]B'=(\omega_1,\omega_2)[/tex] et exprimer la matrice de passage de la premiére à la seconde base et verifier les formules générales ci-dessus ...
Sauf erreur bien entendu !!
Pour l'isomorphisme , si on te demande de prouver que la matrice [tex]I[/tex] est un vecteur propre de la matrice [tex]A[/tex], il n'y a rien à démontrer concernant cet isomorphisme car c'est déjà sous-entendu ...
(c'est mon avis ... et si j'avais l'énoncé complet ce serait mieux ... pour pouvoir en juger ...)
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (27-01-2011 02:52:01)
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