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Coriolis

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Logique mathématique derrière la construction d'un objet

Bonjour à tous, je ne comprend pas trop la logique de la fin de la démonstration :

On prend p un projecteur de E un K-espace vectoriel alors on a E=Ker(p)+Im(p) [+ est la somme directe].

Démonstration :

a/ On montre facilement que l'intersection est réduite au vecteur nul de E

b/ Montrons que tout element de E se décompose en la somme d'un élément de Ker p et d'un élément de Im p

Dans mon cours on construit la décompostion

Si x s'écrit y+z avec y appartient à Ker p et z appartient à Im p
alors....

on aboutit à z=p(x) et y=x-p(x) par déduction

Je ne comprend pas pourquoi ENSUITE il faut vérifier que ces conditions sur z et y conviennent, on a bien construit ces objets POUR QUE CA MARCHE non ?

Merci de m'éclairer.

Dernière modification par Coriolis (20-01-2011 16:43:53)

freddy

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Re : Logique mathématique derrière la construction d'un objet

Salut,

je pense qu'il faut que tu utilises la propriété d'un projecteur qui est pop=p pour voir toute l'astuce de la démonstration.

Fred devrait mieux te dire sinon.

Coriolis

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Re : Logique mathématique derrière la construction d'un objet

Je n'ai pas vraiment de souci sur l'utilisation des propriétés des projecteurs.

C'est la logique de la démo en 2 parties qui me laisse pantois.

A/ On a construit y et z de telle manière que si x s'écrit y+z avec y appartient à Kerp et z appartient à Imp alors y et z sont de cette forme.

B/ Réciproquement si y et z sont de cette forme on répond bien au problème.

l'utilité de B/ me laisse songeur.

C'est dur à exprimer.

freddy

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Re : Logique mathématique derrière la construction d'un objet

Re,

ce qui est difficile à comprendre est : quelle est la question?

Si c'est :

montrer que p est un projecteur de E <=>E Ker(p)+Im(p), il faut bien faire la démo dans les deux sens, non ?

Dernière modification par freddy (20-01-2011 18:08:31)

freddy

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Re : Logique mathématique derrière la construction d'un objet

Re,

je pense que dans le B, il faut lire : montrons que chaque x se décompose de manière unique en la somme de y et z.

Dernière modification par freddy (20-01-2011 18:21:58)

Fred

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Re : Logique mathématique derrière la construction d'un objet

'soir,

  En fait, ce que Coriolis ne comprend pas, c'est ce qu'on appelle un raisonnement par analyse/synthèse.
Je peux te renvoyer à cette page, mais voici un mot d'explication pour ton problème.

Tu veux prouver que E=Ker(p)+Im(p).
Tu dois donc décomposer un élément x de E en y+z avec y dans Ker(p) et z dans Im(p).
Tu n'as aucune idée de savoir comment faire.

La première partie est ce qu'on appelle l'analyse. Il faudrait commencer par
SUPPOSONS QUE x s'écrive x=y+z.
Alors blah blah blah, et forcément z=p(x) et y=x-p(x).

Mais tu as commencé ton raisonnement par "SUPPOSONS QUE".
Il ne te prouve pas que tout x se décompose en ...
Il te dit juste que, si une telle décomposition existe, alors z=p(x) et ....

Maintenant, il faut faire la SYNTHESE, c'est-à-dire VERIFIER que cela fonctionne.
Soit donc x dans E et z=p(x), y=x-z. Evidemment, x=y+z, et il faut encore vérifier que
z est dans Im(p) (ok par définition), puis que y est dans Ker(p).
Pour cela, on calcule p(y)=p(x)-pop(x)=0.
OK, on a vérifié, cela fonctionne!

Freddy a raison, le raisonnement par analyse-synthèse te donne en plus l'UNICITE de la décomposition.

Fred.

Coriolis

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Re : Logique mathématique derrière la construction d'un objet

Merci Fred, tu réponds parfaitement à ma question, je ne savais pas que ça s'appelait un raisonnement par analyse-synthèse. Ce site est un vrai bijou. Merci Freddy aussi pour ton aide.

Juste une précision à un message plus haut : E=Ker(p)+Im(p) n'implique pas que p est un projecteur de E.

Bien à vous.