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Gauss

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système différentiel

Bonjour,

je veux resoudre le système différentiel suivant :

[tex]
\begin{align*}
P_{1}^{\prime }(t) &=r_{1}-d_{1}P_{1}(t)-rP_{1}(t)+P_{1}(t)\sum_{j=1}^4 d_{j}P_{j}(t) \\
P_{2}^{\prime }(t) &=r_{2}-d_{2}P_{2}(t)-rP_{2}(t)+P_{2}(t)\sum_{j=1}^4 d_{j}P_{j}(t) \\
P_{3}^{\prime }(t) &=r_{3}-d_{3}P_{3}(t)-rP_{3}(t)+P_{3}(t)\sum_{j=1}^4 d_{j}P_{j}(t) \\
P_{4}^{\prime }(t) &=r_{4}-d_{4}P_{4}(t)-rP_{4}(t)+P_{4}(t)\sum_{j=1}^4 d_{j}P_{j}(t)
\end{align*}
[/tex]

avec [tex]  \ r_{1},r_{2},r_{3},r_{4} [/tex] et [tex]  d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}[/tex] sont des constantes et [tex]  \displaystyle r= \sum_{j=1}^4 r_{i} [/tex] avec l'information que [tex]  \displaystyle \sum_{i=1}^4 P_{i}(t)=1 [/tex] (vecteur probabilité). et [tex]  P_{1}(t=0)=p_{1} , P_{2}(t=0)=p_{2} , P_{3}(t=0)=p_{3}, P_{4}(t=0)=p_{4} [/tex]

j'ai essayais de l'écrire sous forme matricielle :

[tex]

$$P^{\prime }(t)=B+A.P(t)-P(t).\mathrm{trace}(AP(t)+B)$$ [/tex]

avec [tex] P(t)=
\begin{bmatrix}
P_{1}(t) & 0 & 0 & 0 \\
0 & P_{2}(t) & 0 & 0 \\
0 & 0 & P_{3}(t) & 0 \\
0 & 0 & 0 & P_{4}(t)
\end{bmatrix} , \quad B=
\begin{bmatrix}
r_{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & r_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & r_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & r_{4}
\end{bmatrix}, \quad A=
\begin{bmatrix}
-d_{1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -d_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -d_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -d_{4}
\end{bmatrix}
.
[/tex]

Quelqu'un pourrait-il m'indiquer comment m'y prendre.

merci

Roro

Membre expert

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Re : système différentiel

Bonjour,

Qu'est ce que tu veux dire par "résoudre" ?
Est ce que tu veux trouver une solution exacte ou seulement une méthode pour approcher la solution ?
Ton problème ne me semble pas simple (puisqu'il est non linéaire) et je doute qu'on puisse trouver une solution explicite...
En tout cas je ne suis même pas persuadé que la solution existe pour tout temps. Ce qui est certain c'est que si tu as la condition [tex]\sum P_i(0)=1[/tex] alors tu garderas, tant que la solution existe, la condition [tex]\sum P_i(t)=1[/tex], et ce serait bien qu'une méthode d'approximation de la solution conserve cette propriété !

Je ne peux pas trop en dire plus pour le moment, il faudrait sans doute que je regarde ça un peu plus en détail... est ce que tu as déjà regardé s'il y avait éventuellement d'autres quantités conservées (qui proviendrait du contexte) ?

Roro.

Dernière modification par Roro (19-01-2011 16:35:01)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : système différentiel

Bonjour,

Que   vaut   [tex] \displaystyle  \sum_{i=1}^4 P'_i[/tex]  ? ....

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (19-01-2011 18:15:55)

Roro

Membre expert

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Messages : 1 801

Re : système différentiel

Bonsoir Mohamed,

Je ne comprend pas trop le sens de la question ?
Gauss a donné l'information que [tex]\sum P_i(t)[/tex] valait 1 (donc que sa dérivée est nulle !), et moi j'ai confirmé que si [tex]\sum P_i(0)=1[/tex] alors son "information" était effectivement propagée... mais je ne voit pas trop en quoi ça peut l'aider à "résoudre" son système ?
Peux-tu nous éclairer sur l'intérêt de savoir que [tex]\sum P_i'(t) = 0[/tex] ? (si ce n'est de pouvoir exprimer facilement l'une des inconnues en fonction des trois autres...).

Roro.

pas glop

Invité

Re : système différentiel

bonsoir,

C'est vrai que le système est non-linéaire. Mais il est exprimé sous une forme sympa :
[tex] P' = a( P(t) ) [/tex]
On va supposer : [tex]\forall i \in [1,4], \forall t \in [0,+\infty [ , 0 \le P_i(t) \le 1 [/tex]
L'application a est continue et dérivable tout le temps si on suppose que les [tex]P_i[/tex] le sont.
On va avoir : [tex]P(t)=P(0)+\int_0^t a( P(s) ) ds [/tex]
On a donc la solution... Je vais regarder si il y a moyen de sortie une forme analytique / explicite pour l'intégrale. Avec les valeurs propres, on peut éventuellement faire quelque chose. Je vais creuser un peu et quand je serais bien au fond je repasse !

Par contre, si on perturbe les conditions initiales, la stabilité de la solution n'est pas gagnée. Avec une propriété du style : il existe K tel que [tex]|a(x)-a(y)| < K |x-y|[/tex], on arrive à borner l'effet de la perturbation mais ça augmente exponentiellement en K*t.