Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 06-01-2011 11:43:07
- mathieu64
- Membre
- Inscription : 06-11-2009
- Messages : 192
algèbre
Bonjour,
J'aimerais connaitre la démarche à suivre pour résoudre cet exercice: On se place sur l'espace vectoriel R3[X] et il faut prouver que l'application qui à un polynôme P associe le polynôme P(-X) est une symétrie orthogonale.
Le produit scalaire utilisé étant (P,Q)= integrale de -1 à 1 du produit des polynomes.
En gros j'ai cherché une base orthonormale de l'espace puis j'ai écrit la matrice associée à l'application mais j'ai l'impression qu'il y a plus court.
Merci d'avance.
Hors ligne
#8 06-01-2011 12:01:04
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : algèbre
Re,
je ne comprends pas : on te donne la définition du produit scalaire dans ton espace vectoriel.
On te demande de vérifier que les deux vecteurs P(X) et P(-X) sont orthogonaux.
Alors je me dis tout simplement que tu n'as qu'à calculer P(X)(scalaire)P(-X) et si le produit scalaire est nul, ils sont orthogonaux !
Je me trompe ?
Hors ligne
#9 06-01-2011 12:17:26
- mathieu64
- Membre
- Inscription : 06-11-2009
- Messages : 192
Re : algèbre
Je vais réfléchir par ce que c'est pas clair pour moi. Par exemple si un endomorphisme u vérifie que pour tout x u(x)(scalaire)x=0 je vois pas pourquoi l'endomorphisme est orthogonale. Si j'envoie x et y 2 vecteurs orthogonaux générant un plan par u sur une droite orthogonale au plan alors u n'a pas l'air de transformer toute base orthonormal en base orthonormale donc u n'est pas orthogonal.
En plus si P=X^2 l'application lui associe P'=X^2
et X^2(scalaire)X^2 ça a pas l'air nul.
Hors ligne
#12 06-01-2011 13:09:04
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : algèbre
Bonjour,
Un endomorphisme [tex]\phi[/tex] est une symétrie orthogonale si :
1. C'est une symétrie, c'est-à-dire que [tex]\phi\circ\phi=Id[/tex]
2. C'est un [url=http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./o/orthendo.html]endomorphisme orthogonal, c'est-à-dire que pour tous les vecteurs u et v de l'espace, [tex]\langle u,v\rangle=\langle \phi(u),\phi(v)\rangle[/tex].
Pour ton endomorphisme, la première propriété est évidente. La seconde est à peine plus difficile :
[tex]\langle \phi(P),\phi(Q)\rangle =\int_{-1}^1 P(-t)Q(-t)dt=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt=\langle P,Q\rangle[/tex],
(on utilise juste un petit changement de variables).
Fred.
Hors ligne
#13 06-01-2011 13:30:04
- mathieu64
- Membre
- Inscription : 06-11-2009
- Messages : 192
Re : algèbre
Merci à vous 2 pour les explications. Pour l'orthogonalité c'est sur j'aurai du me poser 2 secondes avant de shmiter la base. Par contre je veux bien quand même que tu développes le côté symétrique je vois pas bien le rapprochement de 1. avec l'adjoint est égale à endomorphisme qui est la définition que j'ai d'un endomorphisme symétrique
Dernière modification par mathieu.gibert (06-01-2011 13:31:26)
Hors ligne
#15 06-01-2011 14:18:14
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : algèbre
Bonjour,
A mon avis, on ne te demande pas de prouver que l'endomorphisme est symétrique et orthogonale, on te demande de prouver que l'endomorphisme est une symétrie (on peut définir une symétrie sans produit scalaire, cf ici) et qu'il est orthogonal.
Cela dit, une symétrie orthogonale est automatiquement un endomorphisme symétrique. Avec les notations de l'énoncé, on a
[tex]\phi\circ\phi=Id[/tex], ce qui entaîne [tex]\phi^{-1}=\phi[/tex]
et [tex]\phi^{-1}=\phi^*[/tex] (car c'est orthogonal). Donc [tex]\phi=\phi^*[/tex]
Fred.
Hors ligne
#17 06-01-2011 17:12:07
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : algèbre
Bonjour,
On peut ajouter qu'il s'agit de la symétrie orthogonale par rapport au plan constitué des polynôme pairs de degré in ferieur ou égal à [tex]3.[/tex]
Ce plan n'est autre que le sous-espace vectoriel des polynômes [tex]P[/tex] tel que [tex]\varphi(P)=P[/tex], autrement dit le sous-espace propre associé à la valeur propre [tex]1[/tex] pour [tex] \varphi.[/tex]
Le supplémentaire orthogonal de ce plan pour ce produit scalair est le plan constutué des polynômes impairs de degré inferieur ou égal à [tex]3.[/tex]
C'est le sous-espace propre associé à la valeur propre [tex]-1[/tex] de [tex]\varphi[/tex]
Pages : 1