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geométrefs

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différentielle de déterminant

salut les amis ;

s'il vous plait qui peut m'aider à répondre à cette exercice :

[tex]tr \left ( M^{-1} d M \right) = d \left ( \ln M \right)[/tex]

où  M est une matrice inversible , tr= trace de la matrice , d = la différentielle , ln = logarithme népérien .
Merci bien .

[Edit] @yoshi
Pas d'espace dans les crochets des balises tex, et deux balises une ouvrante tex (ajouter les crochets) et une fermante /tex  (ajouter les crochets)...
Sinon gare ... Ton post se risque de se retrouver in-ouvrable...
J'ai fait les modifs.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : différentielle de déterminant

Bonjour,

La relation n'est pas homogène.
Veuille réviser l'énoncé ...

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : différentielle de déterminant

Bonsoir,

geometréfs a donné une  formule  non  homogène  pour  les   raisons  suivantes :

1) Pour   parler  de [tex]\ln (A)[/tex]   pour  une  matrice carrée  une   condition necessaire  est  que [tex]||I_n-A||<1[/tex] pour  une norme matricielle dont  est  muni [tex]{\mathcal M}_n({\mathbb R})[/tex] (je suppose à  présent  qu'il  s'agit  de  matrice  réelle ...), [tex]I_n[/tex]  désigne  ici   la  matrice  unité  et  dés lors   si   on   pose  [tex]I_n-A=N[/tex] alors   par  définition : [tex]\ln (A) = -\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{N^k}{k}[/tex]  et   la  convergence  de  cette  série  est   justifiée  par  la  fait  qu'elle   converge  absolument.
Précisément   [tex]\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{||N||^k}{k}=-\ln (1-||N||)[/tex]  car   on a   par  hypothèse : [tex]||N||<1[/tex] (voir  le  chapitre  sur   les  séries  entières).
Cette   convergence  absoule  entraîne  la  convergence   car   l'espace  normé  des  matrices  carrées  de  taille  [tex]n[/tex]  est   complet (Rappelons  que  cette  complétude  est  équivalente  à  toute  série  absolument  convergente  est  convergente)

2) Même  s'il  s'agit  d'une  matrice  possédant  un  logarthme ,on  a  là  une  égalité  dont  le  membre  de  gauche  est  un  nombre  réel   et   celui  de  droite  est  une  matrice carrée  de  taille  [tex]n[/tex] qui  manifestement  n'est  pas  un  nombre  réel   (sauf  le  cas   particulier  [tex]n=1[/tex])

Ceci  dit   la  manière  dont  l'exos  est   formulée  laisse  elle  même  à  désirer:

Voici   un  énoncé  correct,  mais  je  ne   donne  pas  d'indication sur   solution  avant   une  éventuelle  riposte  de  geométrefs  ou  sur  la demande  d'un  curieux ...

EXERCICE
Soit  [tex]A[/tex]  une  application  d'un  intervalle  [tex]J[/tex]   de  [tex]\mathbb R[/tex]   vers  [tex]\mathcal M_n({\mathbb R})[/tex]  tel  que  :  [tex]A(J)  \subset   GL_n({\mathbb R})[/tex]  (  le   groupe  linéaire  formé  des  matrices  inversibles)  et   que  [tex]A[/tex]   est  dérivable  sur [tex]J.[/tex]
Prouver  que  l'application   [tex]f[/tex]   de  [tex]J[/tex]   vers [tex]{\mathbb R}[/tex] définie  par  : [tex]\forall t  \in  J  \quad  f(t)= \ln |\det (A(t))|[/tex]  est  dérivable sur [tex]J[/tex]    et   que  : [tex]\forall t  \in  J   \quad   f'(t)= \text{tr}((A(t))^{-1} A'(t))[/tex]

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (27-12-2010 22:19:16)

geométrefs

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Re : différentielle de déterminant

bonsoir les amis ;
desolé c'est mtn que j ai lu vos réponse.. bon vous avez raison  sur la formulation de l'exercice n'est pas bonne , mais c'est prcq j ai tj dans la téte que l'autre va dirctm comprendre ce que je veux dire ( surtout les mathématicien :P )  .
Bon pour moi j ai trouvé une solution à mon exercice et je vais la partager  sur le site dés que je trouve le temps :)
merci :)