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alucard_xs

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Groupe abélien

Bonjour,

nouvelle journée et nouvelle question ...
Soit G un groupe, on me demande de montrer que G est abélien si et seulement si [tex]{\left(gh\right)}^{-1}={g}^{-1}{h}^{-1}[/tex] avec g et h appartenant à G, bien entendu.

Dans la correction, on me propose dans une première partie :

Soit G abélien alors pour tout couple (g,h) de G,[tex]{\left(gh\right)}^{-1}={h}^{-1}{g}^{-1}={g}^{-1}{h}^{-1}[/tex]

Ce que je ne comprends pas ici c'est la première égalité, cela n'a aucun rapport avec le fait que ma lci soit commutative (définition d'un groupe abélien), d'où cela vient t'il ? aurais-je raté quelque chose dans la définition des symétriques d'un groupe abélien ?

Merci et bonne journée ;)

Dernière modification par alucard_xs (23-12-2010 11:53:09)

freddy

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Re : Groupe abélien

Salut !

si G est un groupe, on est certain de cette relation : [tex](gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}[/tex]

Es tu d'accord ? Et cette écriture ne suppose rien sur la commutativité de ta lci.

Pour bien le voir, il faut que tu détailles pas à pas le calcul du symétrique de gh, en utilisant l'associativité de la lci si tu composes plus de deux éléments, exemple : (g.h).p=g.(h.p) ...

Par contre, il faut que la lci soit commutative pour obtenir la seconde partie de l'équation que tu donnes. car sinon, on s'arrête à ce que j'ai écrit.
Le vois tu ?

Dernière modification par freddy (23-12-2010 15:19:45)

alucard_xs

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Re : Groupe abélien

Salut Freddy,

Première chose : encore merci pour ton aide d'hier et à présent d'aujourd'hui.

J'ai du mal à comprendre l'égalité, se justifiant par la notion de groupe en fait

D'après ce que j'ai compris, un groupe = un ensemble non nul muni d'une lci associative, admettant un neutre et où quel que soit un élément de G, son symétrique existe et est dans G.
Ici on me dit que le Symétrique de g.h = Symétrique de g . Symétrique de h ...

arg non je ne vois pas ... il me manque un maillon je pense

PS : je me mélange les pinceaux également, le "gh" c'est le que "g multiplie h" ou c'est le "g lci h" ?

Dernière modification par alucard_xs (23-12-2010 12:10:26)

freddy

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Re : Groupe abélien

Re,

t'es le bienvenu !

En fait, dans G, tu as g et son symétrique, et h et son symétrique, mais tu ne sais rien sur le symétrique de (gh) sauf qu'il appartient à G.

Il faut donc que tu le construises. Tu définies p le symétrique de (gh), tu prends la définition du symétrique : p.(gh)=1 et tu composes à droite et à gauche (+ associativité) pour arriver au résultat.

OK ?

Dernière modification par freddy (23-12-2010 15:19:21)

alucard_xs

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Re : Groupe abélien

Yes !

Soit p le symétrique de g.h dans G,

(g.h).p=1
[tex]\Rightarrow {g}^{-1}.g.h.p={g}^{-1}.1[/tex]
[tex]\Rightarrow 1.h.p={g}^{-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow {h}^{-1}.h.p={h}^{-1}.{g}^{-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow p={h}^{-1}.{g}^{-1}[/tex]

Donc le symétrique de g.h est bien [tex]{h}^{-1}.{g}^{-1}[/tex]

cool :) merci !

Dernière modification par alucard_xs (23-12-2010 12:28:34)

freddy

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Re : Groupe abélien

Perfect !

si tu as le temps, essaie de prouver (si ce n'est déjà fait) que l'élément neutre d'un groupe est unique, ainsi que le symétrique de chaque élément.

C'est bon pour la "technique" !

Bb

alucard_xs

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Re : Groupe abélien

je progresse lentement mais bon ... lentement mais surement.
Sinon j'avance sur les morphismes de groupes et je bloque sur

"Si G est abélien alors x [tex]\rightarrow [/tex] x² réalise un endomorphisme sur G"

il faudrait que je casse une barrière :

il faut que je montre que (xTy)²=x²Ty² ... je pense

Dernière modification par alucard_xs (23-12-2010 15:54:26)

freddy

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Re : Groupe abélien

Re,

oui ...

As tu lu ceci : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … roupe.html ?

alucard_xs

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Re : Groupe abélien

oui indirectement on va dire, via d'autres sources.
J'ai du zappé quelque chose peut-être.
j'arrive à un joli xTx  X(le produit) yTy.

Vu qu'on pose G abélien, on peut donc s'amuser à commuter les symboles X et T mais pas moyen d'arriver à mon x²Ty²

Dans mon problème, la loi de composition interne à G, notée T n'est pas la multiplication, hélas.

Dernière modification par alucard_xs (23-12-2010 16:36:42)

freddy

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Re : Groupe abélien

Re,

ce que je ne comprends pas est ta lci dans G.

Dans l'ensemble de départ, tu as la lci notée X qui confère à G une structure de groupe abélien ; dans le même ensemble G, qui est l'ensemble d'arrivée, tu définies la lci notée T. Confère t-elle à G une autre structure de groupe ?

Sinon, peux tu définir plus clairement, par rapport à quelle lci se définit le [tex]x^2[/tex] du texte, stp ? En soi, il n'a aucun sens (sauf pour la multiplication dans un ensemble E inclus dans C sans autre précision).

Plus généralement, peux tu être plus précis dans l'énoncé de tes pbs, stp ? On ne peut pas en effet deviner ton environnement de travail, car c'est toute la puissance de l'algèbre que de travailler avec des concepts généraux.

Merci d'avance. A te lire !

alucard_xs

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Re : Groupe abélien

Bonjour,

je pose le problème tel qu'il m'est posé :

Soient G un groupe et f l'application de G dans G définie par [tex]f\left(g\right)=g²[/tex].
Montrer que f est un endomorphisme de G ssi G est abélien

PS : je n'ai aucune indication sur la lci de G, donc je l'ai noté T

PS2 : après m'être renseigné, il me semble que la lci de G est bien la multiplication.
Donc si tel est le cas, c'est très simple.

Merci une fois de plus pour ton aide et passe un agréable réveillon et un très bon Noel !

PS3 : mon raisonnement est t'il bon ?

Question : on suppose . associative, montrer que si [tex]x\in E[/tex] est inversible alors x a un unique inverse

Ma réponse :

Si x est inversible alors [tex]\forall x\in E,\,\exists \,{{x}_{1}}^{-1}\in \,E\,tel\,que\,x.{{x}_{1}}^{-1}=e[/tex]

Soit [tex]{{x}_{2}}^{-1}un\,second\,symétrique\,de\,x\,dans\,E\,alors\,x.{{x}_{2}}^{-1}=e[/tex]
On a ainsi [tex]x.{{x}_{1}}^{-1}=e=x.x{{.}_{2}}^{-1}[/tex]
Donc [tex]{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{2}}^{-2}[/tex]

CQDF non ?

Je m'interroge sur ma logique car dans le corrigé que j'ai sous les yeux, ils ne procèdent pas de la même manière.

Dernière modification par alucard_xs (24-12-2010 08:46:21)

freddy

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Re : Groupe abélien

Bonjour,

Soient G un groupe et f l'application de G dans G définie par [tex]f(g)=g^2[/tex].
Montrer que f est un endomorphisme de G ssi G est abélien
A
près m'être renseigné, il me semble que la lci de G est bien la multiplication

Oui, sauf que tu ne sais rien su rle groupe lui même On va donc convenir que [tex]g^2=g.g[/tex].

PS3 : non. Tu as f et le groupe G. Endomorphisme = un morphisme dans lui même. Comme dans le lien que je t'ai signalé (il faut se servir du dico de la bibmath ...) il faut donc que tu vérifies que f de G dans G conserve à G ses pptés.

Question : on suppose . associative, montrer que si [tex]x\in E[/tex] est inversible alors x a un unique inverse

Ma réponse :

Si x est inversible alors [tex]\forall x\in E,\,\exists \,{{x}_{1}}^{-1}\in \,E\,tel\,que\,x.{{x}_{1}}^{-1}=e[/tex]

Soit [tex]{{x}_{2}}^{-1}un\,second\,symétrique\,de\,x\,dans\,E\,alors\,x.{{x}_{2}}^{-1}=e[/tex]
On a ainsi [tex]x.{{x}_{1}}^{-1}=e=x.x{{.}_{2}}^{-1}[/tex]
Donc [tex]{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{2}}^{-2}[/tex]

CQDF non ?

Non, tu n'as pas le droit de faire cette déduction, même si tu l'as apprises depuis longtemps pour une raison que tu vas vite comprendre.

Il faut ensuite que tu composes à gauche l'égalité [tex]x.{{x}_{1}}^{-1}=x.x{{.}_{2}}^{-1} [/tex] par un terme de ton choix pour déduire l'unicité des symétriques.

Bonne fêtes à toi aussi !

Dernière modification par freddy (24-12-2010 09:52:52)

alucard_xs

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Re : Groupe abélien

décidemment, la logique ne me vient pas vite ...
bon je relativise, Rome ne s'est pas fait en un jour, et quand je compare mes connaissances sur les ensembles entre aujourd'hui et il y a 2 semaines, j'ai quand même progressé.

Composer à gauche l'égalité  [tex]x.{{x}_{1}}^{-1}=x.{{x}_{2}}^{-1}[/tex] ... soit ... mais il me faut bien arriver à [tex]{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{2}}^{-1}[/tex] non ?

Si oui, il me faut supprimer ces "x", en passant par un troisième symétrique peut-être ?
sinon j'aurais :

[tex]Avec\,y\,\in \,E\,:\,y.x.{{x}_{1}}^{-1}=y.x.{{x}_{2}}^{-1}\,...[/tex] mais bon je suis bloqué à cet étage là ...

Dernière modification par alucard_xs (24-12-2010 10:21:29)

freddy

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Re : Groupe abélien

un troisième ? T'en n'as pas déjà assez de 2 ?

Non, non, composes à gauche par [tex]x_1^{-1}[/tex] par exemple, et regarde ce que tu peux en déduire ...

alucard_xs

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Re : Groupe abélien

bien.

[tex]{{x}_{1}}^{-1}.x.{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{1}}^{-1}.x.{{x}_{2}}^{-1}[/tex]
or, [tex]{{x}_{1}}^{-1}[/tex] étant un élément symétrique de x (hypothèse de départ), nous avons [tex]{{x}_{1}}^{-1}.x=e[/tex]
soit [tex]e.{{x}_{1}}^{-1}=e.{{x}_{2}}^{-1}[/tex] et là je peux en conclure que [tex]{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{2}}^{-1}[/tex] ?

Arf, ça ne doit pas être bon non plus, car je ne vois pas la différence dans mon raisonnement par rapport à tout à l'heure, puisque j'avais posé [tex]{{x}_{1}}^{-1}[/tex] et [tex]{{x}_{2}}^{-1}[/tex] étant des symétriques de x dans E.

"Non, tu n'as pas le droit de faire cette déduction, même si tu l'as apprises depuis longtemps pour une raison que tu vas vite comprendre."

Peux-tu me donner un exemple où cela ne fonctionne pas, pourquoi ne pourrais-je pas affirmer ce que j'affirmer ? Je ne vois pas.

Dernière modification par alucard_xs (24-12-2010 10:59:40)

freddy

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Re : Groupe abélien

Re,

là oui, je suis d'accord : il faut que tu montres toutes les étapes du raisonnement.

Je sais, c'est troublant, car on nous a aprris en mettant la charrue avant les boeufs. Mais puisque tu veux faire de l'algèbre, faut au moins une fois que tu retrouves des résultats déjà acquis dans des ensembles que tu manipules depuis ta naissance :-)

alucard_xs

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Re : Groupe abélien

ah d'accord, c'était donc juste une erreur de "fainéant" alors ?
Voilà qui me rassure :)

Merci encore Freddy !

freddy

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Re : Groupe abélien

Re,

erreur de fainéant ? Non, pas sûr, mais il faut que tu reconstruises le chemin de certaines "évidences" ...

De la même manière, peux tu établir que l'élément neutre d'un groupe est nécessairement unique ?

Noueux Joël !