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#1 22-12-2010 16:17:49
- undefined
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Nombre complexe et combinaison linéaire
Bonjour, j'ai du mal à résoudre l'exercice suivant : montrer que tout nombre complexe peut s'exprimer à l'aide d'une combinaison linéaire à coefficients réels de 1 et de j (j= -1/2 + i*racinede(3)/2).
En fait c'est surtout la rédaction de la réponse qui me pose probleme, j'ai essayé en écrivant :
Soit z un nombre complexe, alors il existe deux réels a et b tels que z = a + ib = a.1 + (ib/j)*j (j'essaye de faire apparaitre une combinaison linéaire de 1 et de j pour un nombre complexe quelconque pour montrer que celà est possible pour tout nombre complexe, mais je n'arrive pas à montrer que (ib/j) est réel)
peut-être faut-il essayer par identification avec l'expression a+ib= a'*1 + b'*j mais je ne sais pas du tout comment rédiger ça et mon prof est impitoyable sur la rédaction ^^''
Voilà, merci d'avance pour vos réponses.
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#2 22-12-2010 17:18:07
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Salut,
La bonne question derrière tout cela est : qu'est ce qu'un nombre complexe ???? Plus exactement, comment le corps des complexes est construit.
Un nombre complexe est un couple de réels (a,b). On définit ensuite les opérations usuelles [tex]+[/tex], [tex]\cdot[/tex] et [tex]\times[/tex] sur le corps des complexe comme suit : [tex](a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')[/tex], [tex]\lambda \cdot (a,b) = (\lambda a, \lambda b)[/tex] et [tex](a,b) \times (a',b')=(aa'-bb',ab'+ba')[/tex]. On montre ensuite que ces opérations ont les propriétés nécessaires pour que C muni de [tex]+[/tex], [tex]\cdot[/tex] et [tex]\times[/tex] soit une algèbre (corps + espace vectoriel), appelé corps des nombres complexes. Ensuite, on identifie tout complexe (a,0), dont la partie imaginaire est 0, avec le réel a, ce qui permet de traiter l'ensemble des réels comme étant un sous-ensemble de celui des complexes.
Après avoir construit l'ensemble des réels, on montre que (0,1)^2 = (1,0), autrement dit, que i^2=-1. C'est la célèbre identité bien connue.
Une fois tout cela vu, la démonstration ne pose plus de problèmes.
Soit un nombre complexe (a,b) avec a et b réels. (Définition d'un complexe.)
(a,b) = a*(1,0) + b*(0,1) (Application des opérations définies sur le corps C.)
=a*1 + b*j avec a et b réels.
Donc (a,b) peut s'écrire comme combinaison linéaire de 1 et de j.
A+
P.S : Le rappel avant la démonstration, tu n'as pas besoin de le mettre dans ta copie. C'est juste un rappel de cours.
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#3 22-12-2010 17:23:48
- freddy
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Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Salut,
en première lecture, il faut et il suffit que tu montres que 1 et [tex]j=-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] forme une base du R-espace vectoriel C, non ?
Donc si tu prends un vecteur quelconque z de C tel que [tex]z = a+ib =\alpha+\beta j[/tex], il faut résoudre par rapport à alpha et beta le système de deux équations à deux inconnues :
[tex]\begin{cases}a=\alpha+-\frac12 \beta \\ b =\beta\times \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}[/tex]
ce qui est possible dans tous les cas.
Donc ...
Dernière modification par freddy (22-12-2010 17:24:41)
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#4 22-12-2010 17:44:13
- freddy
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Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Re,
une autre manière qui le démontrerait, en passant par la notion de vecteurs libres : tu considères le vecteur nul et tu regardes que toute combinaison linéaire en 1 et j de ce vecteur nul est à coefficient réel nul.
ce qui revient à poser a=b=0 dans le système ci-dessus et tu en déduits que, nécessairement, béta= 0 puis que alpha est aussi égal à 0.
Bb (et salut à Hadrien).
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#6 22-12-2010 19:35:54
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Bonjour
Encore plus simple est de voir que [tex](1) \quad i= \frac{\sqrt 3}{3} + j \frac{2\sqrt 3}{3}[/tex]
Un nombre complexe [tex]z=a+bi[/tex] avec [tex](a,b) \in {\mathbb R}^2[/tex] , tu remplaces
[tex] i[/tex] par sa valeur dans [tex](1)[/tex] et tu as le résultat.
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (22-12-2010 19:38:31)
#7 22-12-2010 19:52:45
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Autant pour moi : j'avais lu qu'il fallait montrer que c'était combinaison linéaire de [tex]1[/tex] et [tex]i[/tex] et non pas de [tex]1[/tex] et [tex]j[/tex]. Faut dire, sans LaTeX, le code devient vite illisible...
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#9 23-12-2010 00:59:07
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Bonsoir:
[tex] \clubsuit[/tex] Si on veut généraliser un peu ce résultat on peut remplacer [tex] j[/tex] par un nombre complexe [tex] \omega [/tex] de partie imaginaire non nul.
En effet : si on suit l'approche suggéré par Freddy; il suffit de remarque que dans le [tex]{\mathbb R}- [/tex] espace vectoriel [tex] \mathbb C [/tex] de dimension [tex]2 [/tex] , une famille de la forme [tex](1,z) [/tex] est libre si et seulement si [tex]\Im(z) \neq 0 [/tex] (on peut utiliser par exemple la calcul de determinant pour le voir). Notons que cela à lui seul suffit pour répondre à la question initialement posée par undefined, mais si on veut une expression expliicite de la combinaison , on doit exprimer [tex]i[/tex] dans la base [tex] (1,\omega)[/tex]
Si [tex]\omega=u + iv [/tex] avec [tex] (u,v) \in {\mathbb R}^2[/tex] avec [tex]v \neq 0[/tex] alors on a [tex] i= \frac 1v (\omega - u) = -\frac{u}{v} + \omega \frac 1v[/tex] et par suite , si [tex]z=x+iy \in {\mathbb C}[/tex] avec [tex](x,y)\in {\mathbb R}^2[/tex] alors [tex]z= \left(x- \frac{yu}{v} \right) + \frac yv \omega [/tex]
Sauf erreur bien entendu !
[tex] \clubsuit[/tex] Un petit approfondissement de cette question : On note [tex]{\mathbb Z}[i] = {\mathbb Z} + {\mathbb Z} i = \{a+bi / (a,b) \in {\mathbb Z}^2 \} [/tex] et soit [tex]\omega =u + iv \in {\mathbb Z}[i] [/tex].
Sous quelles conditions tout élément de [tex]{\mathbb Z}[i] [/tex] est une combinaison linéaire à coefficients entiers de [tex]1 [/tex] et [tex]\omega [/tex] ?
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (23-12-2010 01:13:45)
#11 23-12-2010 19:20:41
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Bonsoir
Pour Freddy , tu veux dire entre [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex]?
#13 24-12-2010 21:30:40
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Bonsoir
Mais [tex]b[/tex] n'est pas une donnée du problème. On ne le voit nul part (sauf comme variable muette dans la définition de [tex]{\mathbb Z}[i] [/tex]
La condition que je voulais c'est [tex] v^2=1[/tex]
En effet, si par exemple [tex]v=1[/tex] alors [tex]\omega =u +i [/tex] et donc [tex]i=-u + \omega[/tex] (N'oublions pas que [tex] u \in {\mathbb Z}[/tex] .... )
Donc si [tex]z \in {\mathbb Z}[i][/tex], disons [tex]z=x+yi[/tex] avec [tex](x,y) \in {\mathbb Z}^2[/tex] alors [tex] z= x+y(-u + \omega)=(x-yu) + y \omega [/tex]
si [tex]v=-1[/tex] même chose ....
La réciproque : on attends un peu ...
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (25-12-2010 01:56:59)
#14 24-12-2010 22:17:01
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Bonsoir,
mon ami, tu me surprends et semble méconnaître une règle essentielle en communication : rien n'est jamais "gratuit".
En clair, tu ne peux pas faire un long développement sur le changement de base entre (1,i) et (1,w), puis offrir de travailler sur un ensemble particulier dont tu donnes la définition générique, puis poser une question qui serait sans lien avec le reste.
J'ai fait une lecture linéaire de ton propos, fait le lien entre le premier et le second paragraphe et en ai déduit qu'il fallait que b soit divisible par v.
Voilà ! Désolé d'avoir fait un hors sujet et une bonne continuation.
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#15 25-12-2010 01:43:23
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Bonsoir :
puis poser une question qui serait sans lien avec le rest.
En disant : petit approfondissement de la question, c'est que je vois qu'il y a un lien :
Dans le [tex]\mathbb R-[/tex] espace vectoriel [tex]\mathbb C[/tex] la condition [tex] \Im(\omega) \neq 0[/tex] suffit pour que le couple [tex](1,\omega)[/tex] soit une base ...alors que cela ne suffit pas dans le cas du [tex]\mathbb Z-[/tex] module [tex]{\mathbb Z}[i][/tex] , la condition devient |[tex] \Im(\omega)|=1[/tex]
.... en ai déduit qu'il fallait que b soit divisible par v.
à ce que je vois c'est :
[tex] \forall b \in {\mathbb Z} \quad v| b[/tex] (je souligne l'importance du quantificateur)
et c'est clair que c'est une proposition qui dépend uniquement de [tex]v[/tex]
Ell est équivalente à [tex] |v|=1 [/tex]
Je veux dire : [tex] (\forall b \in {\mathbb Z} \quad v| b) \iff ( |v|=1)[/tex]
et c'est exactement la condition déjà signalée en haut , à savoir : |[tex] \Im(\omega)|=1[/tex]
semble méconnaître une règle essentielle en communication : rien n'est jamais "gratuit".
C'sst vrai que je n'ai pas une formation particulière en communication. Cependant je n'ai pas l'idée que pour contribuer dans un forum il faut avoir une telle formation...
Finalement , merci pour les observations.
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (25-12-2010 02:15:10)
#16 25-12-2010 11:58:21
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Salut l'ami !
Pace è salute !
Je vois que tu es un orfèvre en algèbre, c'est bien.
Sur l'aspect "communication", c'est comme la prose de Monsieur Jourdain : tu en fais sans le savoir. A partir du moment où tu échanges avec un quidam, tu communiques. Pis : quand tu souhaites partager tes connaissances, tu communiques dans le sens top-down (maître - élève si tu préfères).
yoshi pourra te le montrer de moult façons : un exemple n'est jamais choisi au hasard, il est construit pour illustrer une idée, mais ne doit pas soulever des questions parasites qui jetteraient le doute dans l'esprit de l'élève. En clair, il doit être cohérent et auto suffisant. Et construire un sujet d'examen ou un exemple illustratif est un art !
Pour ta voie d'approfondissement, j'ai répondu un peu vite, je croyais qu'il y avait d'autres lecteurs sur le coup !
A te lire, ciao amigo !
Hors ligne
#17 25-12-2010 20:03:34
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : Nombre complexe et combinaison linéaire
Bonjour,
Merci Freddy pour les renseignements pédagogiques, très utils d'ailleurs pour moi.