Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#2 16-12-2010 18:18:26
- freddy
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Re : suite
Salut,
la réponse est dans la question : à partir de quelle valeur de n commences tu à définir la suite ?
Ensuite, la monotonie de la suite peut être observée à partir d'un certain rang, donc ...
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#6 16-12-2010 20:46:29
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : suite
Salut,
Voici une méthode avec garantie de résultat, mais qui est un peu bourrin.
Tu regardes
[tex]\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1-a}{n+1}\times \left(\frac{n+1-a}{n-a}\right)^n\times\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex]
et tu fais un développement limité de cette quantité. Tu trouveras 1+autre chose.
En faisant le DL, tu verras si cette autre chose est positive ou négative qd n est grand.
Ainsi, tu auras [tex]u_{n+1}/u_{n}\leq 1[/tex] ou [tex]\geq 1[/tex] pour n grand, ce qui te dira si la suite est croissante. Cela dit, cela donnera pas mal de calculs, et sans doute une discussion suivant la valeur de a (a=0 est sans doute critique, car alors la suite est constante!).
Fred.
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#9 16-12-2010 23:27:19
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : suite
Re,
pour le coup, c'est assez facile de répondre à la question.
La dérivée de f est égale à : [tex]\forall x > a > 0,\;f'(x)=\left(ln\left(1-\frac{a}{x}\right)+\frac{a}{x-a}\right)\times f(x)[/tex]
le signe de la dérivée de f est donné par : [tex]\forall x > a > 0,\;\frac{a}{x-a}-ln\left(\frac{a}{x-a}\right) > 0[/tex]
Donc la suite associée est monotone croissante.
Einfach, nicht wahr ?
Dernière modification par freddy (16-12-2010 23:31:39)
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#11 17-12-2010 18:21:24
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : suite
Salut !
en maths autant qu'ailleurs, sinon plus, il n'y a qu'une seule recette : le travail, le travail, le travail ...
L'habileté vient avec l'expérience, et pour accumuler de l'expérience, il faut travailler, encore et toujours travailler.
Un copain me disait un jour : je suis un grand paresseux, je ne travaille pas assez. A ma question pleine d'étonnement, il me précisa : "oui, le WE, je ne fais pas grand chose ..."
Voilà, tu connais "un" secret, partagé par tant d'autres.
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#13 19-12-2010 00:43:54
- MOHAMED_AIT_LH
- Invité
Re : suite
Bonsoir,
Merci freddy pour les précieux conseils!
Pour mathieux.gibert et afin de lui faciliter la tâche , on peut ajouter que la régle :
[tex]\large (\forall x \in ]0,+\infty[) \quad \ln x \leq x-1 [/tex] avec égalité si et seulement si [tex]x=1[/tex] est à connaître.
La preuve se fait à l'aide de plusieurs méthodes possibles, dont :
1) Etude des variations de la fonction [tex] u[/tex] définie par [tex] u(x)=x-1- \ln x[/tex] pour tout [tex]x \in ]0,+\infty[[/tex]
2) Remarquer que la fonction [tex]\ln [/tex] est concave sur [tex]]0,+\infty[[/tex] et étant dérivable on peut dire que son graphe est au dessous de toutes ses tangentes, en particulier la tangente au point d'abscisse [tex]1[/tex]
Notons que dans ton exercice tu as besoin uniquement de [tex] \ln x \leq x[/tex] et là l'inégalité est stricte
Tu peux déduire une inégalité similaire concernant la fonction exponentielle ...
Une autre inégalité peut être utile en remarquant que pour tout [tex]x>0[/tex] on a [tex] \ln x= 2 \ln \sqrt{x} \leq 2 (\sqrt {x}-1) [/tex]
Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (20-12-2010 02:35:33)
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