Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sam2510

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corps algebriquement clos

Bonjour,

Je cherche à répondre à la question suivante:

Soit le corps C(t) des fonctions rationnelles en t à coefficients dans le corps C des nombres complexes.

Est-ce que le corps est algebriquement clos ?

On nous donne comme indication (considérer le polynome X² -t.

Merci d'avance.

freddy

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Re : corps algebriquement clos

Salut,

sans jouer au devin, je pense que l'exemple qu'on te donne devrait te permettre de conclure en toute simplicité !!!

mais je dis ça, je ne dis rien ... :-)

sam2510

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Re : corps algebriquement clos

Salut,

Je n'arrive toujours pas à conclure. J'ai aussi un problème avec la notion de corps C(t) des fonctions rationnelles

Merci.

Fred

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Re : corps algebriquement clos

Bonsoir,

  C(t) est le corps des fractions rationnelles, c'est-à-dire des quotients de polynômes P(t)/Q(t).
Si ce corps était algébriquement clos, l'équation X^2-t=0 aurait une solution dans C(t).
C'est sans doute là que tu ne comprends pas. Cela veut dire qu'il existerait une fraction rationnelle
P(t)/Q(t) telle que
[tex]\left(\frac{P(t)}{Q(t)}\right)^2-t=0[/tex]
Tu dois obtenir une contradiction. Allez, je t'aide encore, l'équation précédente revient à
[tex](P(t))^2=t (Q(t))^2[/tex]
et la conclusion s'obtient en utilisant l'arithmétique des polynômes.

Fred.

yoshi

Modo Ferox

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Re : corps algebriquement clos

RE,

L'adjectif "clos", vu ta réponse, me fait penser à la notion de "loi de composition interne"..
Mais peut-être, n'y a-t-il là qu'une (très) vague "analogie" d'adjectifs ?...

@+