Fonctions, limites [Résolu]

laura-karine · 07-12-2010 13:22:47

Bonjour !! J'ai un exercice de math et j'ai quelques petites questions à poser =)
L'exercice porte donc sur les fonctions, limites, asymptotes.
Alors on considère la fonction f définie sur R-{-1} par f(x) =[tex]\frac{2x²-4x+3 }{x+1}[/tex]

on me demande de déterminer les réels a,b,c tels que pour tout x de R-{-1}, [tex]f(x)=ax + b +\frac{c}{x+1}[/tex]

donc en développant je trouve a=2, b=-6, c=9 ce qui me fait [tex]f(x)= 2x - 6 + \frac{9}{x+1}[/tex]

on me demande ensuite de montrer que la droite D d'équation y=2x-6 est asymptote à la courbe C représentative de la fonction f.
je cite donc que si lim[f(x)-(ax+b)] = 0 alors la droite D et la courbe Cf sont asymptotes. D est alors asymptote oblique à la courbe Cf.
lim[f(x)-(ax+b)]=lim [(2x - 6 + 9 ) - (2x - 6)]
-----
x+1

je simplifie et il me reste lim 9
------ = 0 car lim 9 = 9 et lim(x+1)= -[tex]\infty[/tex]
x+1

Je n'arrive pas bien à mettre en dessous de lim, mais c'est quand x tend vers - infini.
donc par quotient, lim 9
----- = 0 (moins) quand x tend vers - infini.

la droite d'équation y=2x-6 et Cf sont asymptotes en - infini.

on me demande ensuite d'étudier les positions relatives de C et D.
j'étudie donc le signe de f(x) - (2x-6) mais c'est ce que j'ai fais plus haut donc comme j'ai trouvé 0(moins), C est en dessous de la droite D ?

Merci !
x+1

laura-karine · 07-12-2010 13:23:58

le x+1 à la fin n'allait pas là, c'est le x+1 de ma phrase de conclusion, "donc par quotient, lim 9 ...

yoshi · 07-12-2010 15:30:42

Bonjour,

0 n'est pas un signe que je sache...
De plus pour étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote, on ne cherche pas une limite chiffrée ou non, mais on étudie le signe de [tex]\frac{9}{x+1}[/tex] sur [tex]]-\infty\;;\,-1[\;\cup\;]-1\;;\;+\infty[[/tex].

Si [tex]\frac{9}{x+1}[/tex] est <0 alors la courbe est en dessous, et au dessus dans l'autre cas...

Est-ce plus clair...

Je n'arrive pas bien à mettre en dessous de lim, mais c'est quand x tend vers - infini.

Mauvaise excuse qui n'en est pas une. Deux solutions pour y remédier s'offrent à toi :
* Soit tu n'as besoin de rien d'autre que ton clavier, tes 10 doigts et cette page Code LaTeX...
* Soit tu as besoin de Java installé sur ta machine et alors tu appuies sur le bouton"Insérer une équation" au dessus du bouton "Envoyer" :
C'est un éditeur de formules mathématiques classique tel celui de OpenOffice ou de Word, très intuitif d'utilisation.
Si nécessaire, une page d'aide en .pdf est disponible depuis l'Editeur...

la droite d'équation y=2x-6 et Cf sont asymptotes en - infini.

Horreur !
Une asymptote est une droite : comme ton verbe être est au pluriel, il a donc pour sujet "droite" et "courbe"...
Donc tu es en train d'écrire que la courbe est une droite...

@+

laura-karine · 07-12-2010 15:53:12

Ah d'accord mais [tex]\frac{9 }{x+1}[/tex] sera forcément inférieur à 0 sur ] [tex]-\infty ;-1[/tex][ et supérieur à 0 sur ] [tex]-1;+\infty[/tex][ enfin c'est ce que je pense non ?

C'est ma phrase qui est fausse mais mes calculs sont bons pour l'asymptote ?

yoshi · 07-12-2010 16:46:48

Re,

Oui, sur toute la ligne..
Tu n'as besoin que de rechercher le signe de x+1, rien de bien compliqué...

@+

laura-karine · 07-12-2010 22:43:46

Re, merci pour l'aide, je vais le continuer et voir si je bloque sur d'autres trucs ..
Petite question il y a qu'une asymptote oblique, il n'y a pas d'asymptote verticale içi ?

yoshi · 07-12-2010 22:46:55

Re,

bin si : équation x = -1...

@+

laura-karine · 12-12-2010 11:05:05

Ree !
j'ai fais mon tableau de signes et j'aimerais savoir si ma conclusion est juste :

la valeur interdite est donc -1 et donc sur ]- [tex]\infty[/tex];-1[ [tex]\cup[/tex]]-1;0] f(x)<2x-6 donc Cf est au dessous de D ?

yoshi · 12-12-2010 11:38:39

Bonjour,

Eh, la miss, je t'avais dit que tu devais étudier le signe de [tex]\frac{9}{x+1}[/tex] sur [tex]]-\infty\;;\;-1[\;\cup\;]-1\;;\; +\infty[[/tex], non ?
Moi, quand je le fais, je constate que
* [tex]\frac{9}{x+1}<0[/tex] pour x <-1
* [tex]\frac{9}{x+1}>0[/tex] pour x>-1

Ce qui signifie que dans un cas, la courbe est en dessous de l'asymptote oblique, et dans l'autre au dessus. Tu pourrais quand même allumer ta calculatrice graphique, puis
* Demander le tracé de [tex]y = \frac{2x^2-4*x+3}{x+1}[/tex]
* Demander si nécessaire le tracé de [tex]y=2x-6[/tex]
Et là tu verrais la réponse à ta question...

@+

laura-karine · 12-12-2010 12:27:04

oui mais l'interval c'est R - {-1} mais je dois quand même étudier sur ]-1;+ [tex]\infty[/tex] [ ?

yoshi · 12-12-2010 13:01:05

Re,

Et pourquoi la réponse serait-elle-non ?
La consigne donnée est bien :

laura-karine a écrit :

on me demande ensuite d'étudier les positions relatives de C et D.

Dire que le domaine de définition est [tex]\mathbb{R}-\{-1\}[/tex] n'est pas synonyme de ]-oo ; -1[, c'est simplement dire que -1 est une valeur interdite...
Faire l'étude sur ]-oo ; -1[ ne serait faire que la moitié du boulot :

@+

laura-karine · 12-12-2010 13:23:07

ahh d'accord merci =)

on me demande ensuite de calculer les limites de f(x) aux bornes de son domaine de définition, du coup j'avais fais sur l'intervalle que j'avais dis, et du coup c'est juste ?

yoshi · 12-12-2010 13:33:41

Re,

Aux bornes = 4 bornes à tester :
* -oo
* -1 par valeurs inférieures à -1
* -1 par valeurs supérieures à -1
* +oo
Pour ça, tu ne vas pas te servir de la dérivée mais de [tex]f(x)=2x-6+\frac{9}{x+1}[/tex]
Pour les limites en +-oo c'est simple...
Mais pourquoi ce distinguo entre -1 par valeurs inférieures et supérieures ?
Parce que selon que tu fais tendre x vers -1 avec <-1 ou vers -1 avec x>-1, le signe de x+1 n'est pas le même, et ça change le signe de l'oo...
Tu as tout sur le dessin.

@+

laura-karine · 12-12-2010 13:38:46

Ah bah je fais bien de demander car j'avais étudié sur - [tex]\infty[/tex]
-1-
-1+
et 0-

yoshi · 12-12-2010 13:44:30

Re,

0- ??? Pour quoi faire ?

@+

laura-karine · 12-12-2010 13:51:13

bah enfaite comme au début sur l'énoncé c'est marqué que la fonction est définie sur R - j'me suis dis qu'il fallait s'arrêter à 0 vu qu'après ça passe à R +

yoshi · 12-12-2010 13:56:31

Re,

Arf...
R-{-1} signifie très exactement : ensemble privé du nombre -1...

@+

laura-karine · 12-12-2010 14:02:23

mais pourquoi c'est pas R{-1} ? je comprend pas pourquoi c'est marqué R- alors

yoshi · 12-12-2010 14:32:33

Re,

Dans ton post #1 du 07-12-2010 13:22:47, tu as a écrit :

Alors on considère la fonction f définie sur R-{-1} par f(x) =[tex]\frac{2x²-4x+3 }{x+1}[/tex]

@+

Dernière modification par yoshi (12-12-2010 14:41:56)

laura-karine · 12-12-2010 14:39:50

ouii mais R - c'est pas l'intervalle ]- 0] enfin je sais pas si je suis très clair
par exemple la fonction racine carré elle est bien définie sur [0;+ [tex]\infty[/tex] [ et on dit bien R+ donc pourquoi quand on met R - on étudie quand même en +
je ne sais pas si je suis très clair mais bon ^^

yoshi · 12-12-2010 14:42:26

Re,

1. Dans [tex]\mathbb{R}-\{-1\}[/tex], le - signifie qu'on enlève -1 à R..
2. Quelquefois on l'écrit aussi ainsi : [tex]\mathbb{R}\;\backslash\;\{-1\}\,[/tex].
3. [tex]\mathbb{R}\{-1\}[/tex] n'aurait pas de sens, il ne faut pas confondre [tex]\mathbb{R}-\{\cdots\}[/tex] avec [tex]\mathbb{R}^{-}[/tex]

C'est plus clair ?

@+

laura-karine · 12-12-2010 14:43:55

ahh d'accord maintenant j'ai compris =D merci beaucoup !! désolé je ne suis pas très forte en math' mais je m'accroche !!! lol

laura-karine · 12-12-2010 22:07:54

on me demande l'équation réduite de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 et j'ai trouvé y= - 7x + 3
est-ce juste ?

yoshi · 12-12-2010 22:35:52

Re,

Oui c'est juste...

@+

laura-karine · 12-12-2010 23:16:01

merci beaucoup =)

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