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#1 10-12-2010 22:55:24
- chipp
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Statistiques
Bonsoir à tous
J ai une question
si l on nous donne une loi de densité, mais que cette loi ne suit aucune loi, est il alors possible de determiner:
La fonction de vraisemblance
Le maximum de vraisemblance
l information de fisher
déterminer si l estimateur est sans biais, convergent, efficace?
parce que quand ca suit une loi j y arrive mais quand ca ne suit pas de loi ca me bloque.
merci a tous
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#2 10-12-2010 23:03:46
- freddy
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Re : Statistiques
Salut,
je veux bien être pendu haut et court si je comprends ta question ...
Ce que tu veux dire : si tu mets la main sur une distribution de probabilité inconnue au bataillon ?
Merci de ta réponse.
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#3 10-12-2010 23:10:24
- chipp
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Re : Statistiques
Si on nous donne une loi de densité F(x) quelconque et que cette loi de densité ne nous permet pas d affirmer que F(x) suit une loi quelconque.
Est il alors possible de déterminer:
La fonction de vraisemblance
Le maximum de vraisemblance
l information de fisher
déterminer si l estimateur est sans biais, convergent, efficace?
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#5 11-12-2010 19:03:20
- freddy
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Re : Statistiques
Re,
si c'est vraiment un distribution absolument quelconque, alors on sait que la va suit une loi uniforme.
Sinon, tu dois pouvoir trouver l'expression de sa densité ou bien de sa fonction de répartition.
Et si elle n'est pas encore connue, tu peux publier tes résultats dans une revue spécialisée (il y aura deux "referee" qui vérifieront la qualité de tes travaux) et lui donner ton nom.
Je ne sais pas que te dire de plus.
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#6 12-12-2010 00:30:18
- chipp
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Re : Statistiques
Bon bah je poste l enoncé
on considère un échantillon (X1,......,Xn) i.i.d de loi de densité de paramètre "a" positif
f(x)= [tex]\frac{k+1}{{a}^{k+1}}{x}^{k}[/tex] si x [tex]\in[/tex] [0,a] et 0 sinon ou k est un paramètre connu strictement supérieur a -1
1) montrer que f(x) est une densité de probabilité
2) calculer son espérance, en déduire un estimateur de a. cet estimateur est il sans biais?
Je marque que ces deux questions pour m aider à démarrer et à comprendre la démarche à suivre
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#7 12-12-2010 10:32:47
- freddy
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Re : Statistiques
Salut,
ahhh, voilà que tout s'éclaire.
Montrer que f(x) est une densité de probabilité : vérifie que les conditions requises (il faut que f(x) soit positif ou nul et que [tex]\int_{\mathbb{R}}f(x)=1[/tex]).
Calculer son espérance (fastouche a priori) et le mot magique DEDUIRE => ce qui veut dire que tu dois pouvoir fabriquer un estimateur de E(x) à partir de son premier moment empirique (la moyenne de la série empirique).
[tex]\forall a \geq x \geq 0, k > -1,\;f(x)=\frac{k+1}{a^{k+1}}x^k \geq 0,\;f(x) = 0\;\text{sinon}[/tex]
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=\frac{x^{k+1}}{a^{k+1}}]_0^a = 1[/tex]
Ensuite, on calcule de la même manière [tex]E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x)\,dx=\frac{k+1}{k+2}\times \frac{a^{k+2}}{a^{k+1}} =\frac{k+1}{k+2}\times a[/tex]
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#8 12-12-2010 11:08:27
- freddy
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Re : Statistiques
Re,
je continue ... Puisque k est un paramètre connu, on déduit qu'un estimateur de a est fourni par [tex]\hat{a}=\frac{k+2}{k+1}\times \bar{x}[/tex]
Je te laisse finir ?
Dernière modification par freddy (12-12-2010 11:09:40)
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#9 20-12-2010 11:15:07
- freddy
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Re : Statistiques
Bonjour,
je finis pour la communauté.
Par définition, l'estimateur est sans biais si [tex]E\left(\hat{a}\right)=a[/tex]
Or on a [tex]E\left(\hat{a}\right)= \frac{k+2}{k+1}\times n\times \frac{E(x)}{n}=a[/tex]
Il est donc bien sans biais.
En calculant [tex]E(x^2)=\frac{k+1}{k+3}\times a^2[/tex], on déduit la variance de x : [tex]V(x)=\frac{k+1}{(k+2)^2(k+3)}\times a^2[/tex].
On peut maintenant calculer la variance de l'estimateur du paramètre a :
[tex]V(\hat{a})=\left(\frac{k+2}{k+1}\right)^2\times \frac{1}{n^2}\times n\times V(x)=\frac1n\times \frac{a^2}{(k+1)(k+3)}[/tex] qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Conséquence : l'estimateur du paramètre a est aussi est convergent, ce qui est rassurant.
Bb
Dernière modification par freddy (20-12-2010 12:57:29)
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