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elodie

Invité

l horticulteur

un horticulteur plante n oignons de tulipe dans un jardin .chaque oignons donne une fleur avec une proba p et si un oignon a produits une fleur une année, il fleurira toutes les années ulterieures.quelles est la moyenne du nombre T d'années au bout duquel le jardin seras pour la premiere fois fleuris de n tulipes?

freddy

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Re : l horticulteur

Bonjour !

Bigre, c'est toujours derrière de jolies fleurs que se cache le diable.

Dans ce cas, le diable s'appelle "loi binomiale négative", qui est la loi de l'expérience aléatoire suivante : on observe la réalisation répétée d'une variable aléatoire de Bernoulli X qui prend la valeur 1 avec une probabilité p et 0 avec une probabilité (1-p) et on s'intéresse à la probabilité de l'événement : le nième tirage "sort" le rième 1.

A l'instar de la loi géométrique (ou de Pascal), il s'agit d'une loi de temps d'attente du genre : je regarde les arrivées à Paris de l'autoroute A 4, je compte le nombre de véhicule immatriculé 2Aet je crie bingo quand j'ai observé la 100 ième ! (Avec un tel jeu pour occuper les enfants d'une classe maternelle, vous êtes tranquille pour un certain temps ).

Je reviens ...

Dernière modification par freddy (03-12-2010 13:49:09)

yoshi

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Re : l horticulteur

Bonjour,
(On n'est pas des sauvages)

Élodie, as-tu vu ceci :
  ?

@+

freddy

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Re : l horticulteur

Salut ami yoshi,

je pense qu'Élodie, qui a posté ce difficile sujet en novembre 2005, ne te lira pas.

Comme d'habitude, je réponds quand même aux vieux sujets, pour celles et ceux qui nous lisent aujourd'hui.

Amicalement,

Freddy

yoshi

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Re : l horticulteur

Re,

Exact, pas vu...

@+

freddy

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Re : l horticulteur

Salut,

le lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomi … 3%A9gative est assez complet et répond bien à la question d'Élodie.

Bonne journée !

freddy

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Re : l horticulteur

Bonjour,

considérons l'ensemble D composé des éléments suivants :

[tex]\sigma_j^d \in D,\;\forall\, 1\leq i \leq d,\;\exists\,n_i \in \mathbb{N}\;tq\;n=n_1+n_2+\cdots+n_d\,et\,n_d\geq 1[/tex]

alors la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète T est égale à :

[tex]\Pr(T=d)=\sum_{\sigma_j \in D}\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_d!}(1-p)^{n_2+2n_3+\cdots+(d-1)n_d}\times p^n[/tex] avec [tex]d\in \mathbb{N^*}[/tex]

(suite au prochain numéro ...)

freddy

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Re : l horticulteur

Re,

on aura compris qu'à l'image de la loi binomiale négative associée à l'expérience répétée d'une épreuve de Bernoulli, on a ici la loi multinomiale négative associée à l'expérience répétée de n épreuves de Bernoulli simultanées.

A suivre donc ...

@yoshi : je pense que ce sujet aurait mieux sa place dans Entraide (supérieur).

freddy

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Re : l horticulteur

Re,

voilà, j'ai fini par remettre la main dessus.

Le problème de l'horticulteur d'élodie est en fait le problème de la loi de survie d'un groupe d'individus au profil homogène.

La question posée est celle de l'espérance de vie d'un groupe disparaissant au dernier décès.

Dans ce lien, en posant la probabilité de décès constante égale à p, on trouvera la modélisation classique en actuariat du "problème des tulipes".

Bis bald.

freddy

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Re : l horticulteur

Bouffre,

ce sujet m'aura fait revisiter mes classiques ...

Bon, reprenons : nous savons que la loi associée à un seul oignon de tulipe est une loi géométrique d'espérance [tex]\frac{1}{p}[/tex].

Nous considérons la somme de n va indépendantes et identiquement distribuées qui suivent la loi géométrique de paramètre p.

Qu'on utilise directement la théorème de l'espérance de la somme qui est égale à la somme des espérances ou bien le truchement de la fonction génératrice dont la dérivée première au point 1 donne directement l'espérance recherchée (en rappelant là encore que la fonction génératrice de n va iid = produit des n fonctions génératrices), on trouve ce p... de résultat derrière lequel je cours :

[tex]E(T)=\frac{n}{p}[/tex]

Fermez le ban.

Il y a des moments où je me désespére.

Dernière modification par freddy (17-12-2010 12:37:40)

freddy

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Re : l horticulteur

Re,

je précise que la fonction génératrice de la loi de [tex]S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n[/tex] somme des n va géométriques est donnée par :

[tex]G_{S_n}(Z)=\left(\frac{pZ}{1-(1-p)Z}\right)^n[/tex]

Dernière modification par freddy (17-12-2010 22:35:10)