Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Michel

Invité

Aide sur les matrices et les système linéaires

Bonjour,

j'ai quelques questions sur les systèmes linéaires:

1. Une matrice carrée non inversible A est semblable à une matrice B dont la première colonne est nulle.
-> 2 matrices sont semblables ssi elles représentent un même endomorphisme dans 2 bases différentes.
On considère l'endomorphisme canoniquement associé à A, il est non bijectif donc non injectif donc son noyau n'est pas réduit à 0.  Ensuite, je n'arrive pas à conclure.

2. Un système linéaire de n équations à n inconnues qui n'est pas de Cramer possède forcément plusieurs solutions.

3. Un système linéaire de n équations à p inconnues qui est de rang n possède forcément des solutions.

4. Un système linéaire de n équations à p inconnues qui est de rang p possède exactement une solution.

5. Un système linéaire de n équations à p inconnues qui est de rang n possède au plus une solution.
Vrai mais comment le prouver?

6. Tout système linéaire ayant plus d'inconnues que d'équations est compatible.
C'est faux, il y a soit une infinité de solutions soit aucune mais je n'arrive pas à trouver un contre-exemple.

7. Un endomorphisme u de K^n, tel que tout vecteur non nul de K^n soit vecteur propre de u est une homothétie.
Est-ce qu'en utilisant simplement la définition d'un vecteur propre ca marche?

Si quelqu'un arrive à m'aider, merci d'avance.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Aide sur les matrices et les système linéaires

Salut,

as tu lu ceci : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ntene.html ?

Pour le 1), quelle est la question ?

Idem pour le 7).

A te lire.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Aide sur les matrices et les système linéaires

Bonsoir

Pour  1), c'est un bon début et  tu  as  presque terminé. Si on appelle [tex]f[/tex], l'endomorphisme canoniquement associé à la  matrice carrée [tex]A[/tex], comme [tex]\ker f  \neq \{0\}[/tex], soit donc  [tex]e_1 \in \ker f[/tex]  tel  que  [tex]e_1 \neq 0[/tex].  D'après  le théorème de  la  base  incompléte il  existte  une base [tex]\mathcal B[/tex]  de  [tex]{\mathbb K}^n[/tex]   dont   [tex]e_1[/tex]  est  le  prmier  vecteur ...(bien entendu [tex]n[/tex]  est  la  taille  de  la  matrice [tex]A[/tex] ) ...tu  termines

Pour 7)  Oui , il  faut  utiliser   la  définition  d'un  vecteur   propre  mais  judicieusement
Par  exemple  si  [tex]{\mathcal B} =(e_1,....,e_n)[/tex]  est  une  base  de [tex]{\mathbb K}^n[/tex]. apelle par  exemple [tex]\lambda_i[/tex]   les  valeurs  propres  associées   au vecteurs  [tex]e_i[/tex]   et  prouve  que  pour  tout [tex]i \in  \{2,...,n\}[/tex]   on  a  [tex]\lambda_i=\lambda_1[/tex]