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sam2510

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isomorphisme, anneau quotient

Bonjour,

J'ai un probleme avec la deuxieme partie de l'exercice:

1- Montrer que le corps des nombres complexes est isomorphe à l'anneau quotient R[X]/ I où I est l'idéal de R[X] en gendré par X^2+1.

2- Si on remplace R par [tex]F_{5}[/tex], le corps à 5 éléments. En montrant d'abord que  [tex]X^{2}+1[/tex] contient une racine dans [tex]F_{5}[/tex]. Montrer que [tex]F_{5}[X]/(X^{2}+1)[/tex] n<est pas un corps.

Pour la premiere partie, j'ai definis une fonction [tex]\phi \,de\,R\left[X\right]\,vers\,C\,qui\,pour\,f\,on\,fait\,correspondre\,\phi\left(f\right)=f\left(i\right),...[/tex]

Mon problème c'est la deuxième question car je ne suis pas familier avec la notion de corps fini.

Merci pour votre aide

Roro

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Re : isomorphisme, anneau quotient

Bonsoir,

Pour la question 2, dans [tex]F_5[/tex] tu as [tex]X^2+1=(X+2)(X+3)[/tex].
Il me semble que le polynôme [tex]X+2[/tex], qui n'est pas nul dans [tex]F_5/(X^2+1)[/tex], n'y est pas inversible puisque [tex](X+2)(X+3)=0[/tex] dans [tex]F_5/(X^2+1)[/tex].

Si je dis une grosse bêtise, n'hésitez pas à m'envoyer balader ! (ça m'apprendra à faire de l'algèbre :-p )

Roro.

sam2510

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Re : isomorphisme, anneau quotient

Je ne comprend pas comment [tex]{x}^{2}+1[/tex] puisse être écrit comme [tex]\left(x+2\right)\left(X+3\right)[/tex]. J'attend des précisions SVP

J'ai un problème avec les corps finis. Ce que je comprend c'est que [tex]{F}_{5}[/tex] comprend 5 éléments
qui sont [tex]\bar{0},\bar{1,}\bar{2},\bar{3},\bar{4}[/tex]...

Merci d'avance

Roro

Membre expert

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Re : isomorphisme, anneau quotient

Bonjour,

Pour ce qui est de l'égalité [tex]X^2+1 = (X+2)(X+3)[/tex], il suffit de montrer que pour tout [tex]x\in \{\overline 0,\overline 1, \overline 2, \overline 3, \overline 4\}[/tex] on a [tex]x^2+1 = (x+2)(x+3)[/tex].

Roro.

Dernière modification par Roro (07-12-2010 13:33:40)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : isomorphisme, anneau quotient

Bonsoir:

ou  remarquer  que  [tex](X+\overline 2)(X+\overline 3)=X^2+\overline 5  X +\overline 6[/tex]  et  que  [tex]\overline 5= \overline 0  \quad   \text{et}  \quad  \overline 6 =\overline 1[/tex]

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (11-12-2010 01:24:07)