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#1 30-10-2009 17:39:09
Egalité fonctions multiformes
Bonjour,
Voilà, il y a deux trois trucs que je n'ai pas compris sur les fonctions multiformes.
1/ Quel est le terme correct pour la "sortie" d'une fonction multiforme ? Image ?
2/ Est-ce que l'on peut assimiler la sortie d'une fonction multiforme à un ensemble ?
3/ Comment définit-on la continuité et la dérivabilité pour une fonction multiforme ? Je serai bien tenté d'appliqué la définition classique avec les distances, mais, dans ce cas, comment définit-on la distance entre f(x) et f(y), f étant une fonction multiforme.
4/ Quel sens exact a f = g, f et g étant deux expressions multivaluées ?
5/ Je me perds entre les termes holomorphes et analytiques : qu'est ce qui relève de la définition et qu'est-ce qui relève d'une propriété ? Comment ces deux notions se combinent-elles avec des fonctions multiformes ?
Merci beaucoup.
Hadrien
P.S : J'ai cherché sur le web, mais on ne dit pas grand chose sur les fonctions multiformes. Tout ce que l'on y dit, c'est comment rendre uniforme une fonction multiforme.
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#2 02-12-2010 00:09:09
- freddy
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Re : Egalité fonctions multiformes
Salut Hadrien,
les questions que tu poses sont intéressantes en ce qu'elles "poussent" à aller voir plus loin les notions classiques d'une fonction numérique à une voire plusieurs variables réelles.
Pour y répondre, il faut faire des incursions dans la topologie générale et regarder, pour répondre à tes quatre premières questions, comment définir une fonction d'un espace topologique E dans un autre espace topologique F de telle façon que [tex]\forall x \in E,\,\Gamma(x) \subseteq F[/tex].
J'ai longtemps été accompagné d'un livre que j'ai sous les yeux à l'instant où je t'écris et qui s'intitule "Espaces topologiques, fonctions multivoques" de Claude Berge, Collection universitaire de mathématiques, Ed Dunod, Seconde édition, 1966. Je t'en recommande la lecture (il n'est plus édité, tu devrais le trouver en BU).
Ce livre répond à tes questions. En particulier, on dit que l'image d'un élément de x par l'application multivoque (ou multivaluée) Gamma est bien un sous ensemble de F ; les notions de continuités de cette application reposent sur la notion d'ouverts (et de voisinage d'éléments) de E et de F, généralisant ainsi la notion construite sur la droite réelle ; on y apprend à distinguer en particulier les notions d'application hémi continue supérieurement et inférieurement, à l'instar de la semi continuité supérieure et inférieure de la fonction numérique de la variable réelle ; la différentiabilité suppose de se plonger dans l'étude de la topologie différentielle, usw ...
Oui, je sais, la quantité de choses qu'on ne sait pas ne pas savoir donne le vertige et une vague idée de l'infini.
Il est très probable qu'il existe aujourd'hui des manuels plus moderne dans la présentation des concepts, j'avoue que l'étude attentive de celui là développa en moi un profond respect de nos maîtres.
Bis bald.
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#3 02-12-2010 09:01:46
- freddy
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Re : Egalité fonctions multiformes
Re,
pour compléter, on dit que les deux applications multivoques (dans le langage moderne, je crois qu'on parle de correspondance) G et H sont égales ssi :
[tex]G = H \Leftrightarrow\;\forall x \in E,\; G(x) = H(x)[/tex]
Bb
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#4 04-12-2010 10:27:23
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