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Picatshou

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réduction d'endomorphisme

soit E un k e v dimE=n soit : u un endomorphisme de E tq: 1<=rg(u)<=n-1
je ne comprend pas pourquoi il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est de la forme 
[tex]\left(\begin{array}{c}A  B\\0  0\\\end{array}\right)[/tex] ?
merci d'avance pour la réponse !

Dernière modification par Picatshou (28-11-2010 18:01:17)

pas glop

Invité

Re : réduction d'endomorphisme

salut picatschou,

La ligne de 0 en bas de la matrice correspond au noyau de u, qui est de dimension supérieure ou égale à 1.

Le reste, on peut l'écrire comme on veut. Entre autres sous la forme (A B)... Il n'y a aucunes conditions sur A ou B ?

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : réduction d'endomorphisme

Bonsoir,

Comme [tex]\text{rg} f = r[/tex]  vérifie [tex]1  \leq r<n[/tex], on  peut  considérer  une  base [tex]\Omega=(e_i)_{ 1 \leq i  \leq r}[/tex]  de [tex]\text{Im} f[/tex]. On  la  compléte  en  une  base [tex]{\mathcal B}=(e_i)_{1 \leq i \leq n}[/tex]  de  [tex]E[/tex] La  matrice  de  [tex]f[/tex]  relativement à  [tex]\mathcal  B[/tex]  est  [tex]M= \left(\begin{array}{cc}A&B\\O_{n-r,r}&O_{n-r,n-r}  \end{array} \right)[/tex]  avec  [tex]A  \in {\mathcal M}_r({\mathbb K})[/tex]  et  [tex]B \in {\mathcal M}_{r,n-r} ({\mathbb K})[/tex]  et   les  matrice   [tex]O[/tex]  indéxées   sont  des  matrices  nulles   des  espaces matriciels  correspondant   à  l'indexation.
On  te  laisse  le  soin  de  voir   pourquoi  cette  matrice a cette forme en  calculant  les  images  des  vecteurs  de  la  base  [tex]\mathcal B[/tex]   et  en  exploitant  qu'ils  sont  dans  l'image  de [tex]f[/tex]

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (13-12-2010 20:52:07)