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gerard

Invité

limite de fonction

bonjour,

cela fait plus de 2 jours que je suis sur les limites de fonction je n'arrive pas a les résoudre et ca commence a m'enervé mdr

voici les deux fonctions:

lim quand x tend vers 0 de :  [tex]\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+{x}^{2}}}{x}[/tex]

lim quand x tend vers + infini de :  [tex]\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}-\sqrt{1+x}}{{x}^{2}}[/tex]

merci

Roro

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Re : limite de fonction

Bonjour gerard,

Est ce que tu connais les développements limités ?
Si c'est le cas, il me semble qu'en utilisant le développement suivant [tex]\sqrt{1+u}=1+\frac{u}{2}+o(u)[/tex] au voisinage de 0 tu devrais t'en sortir relativement simplement...

Roro.

Fred

Administrateur

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Re : limite de fonction

Bonjour,

  Le plus facile est d'utiliser la quantité conjuguée : quand on a une différence de deux racines carrées
[tex]\sqrt a-\sqrt b[/tex], on multiplie au numérateur et au dénominateur par [tex]\sqrt a+\sqrt b[/tex]

Pour ton premier exemple, cela te donne :
[tex]\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}x=\frac{(1+x)-(1+x^2)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x^2})}[/tex]

Est-ce que cela t'aide??

A+
Fred.

gerard

Invité

Re : limite de fonction

oui mais sa n'enleve toujours pas la Forme Indeterminé de faire sa

thadrien

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Re : limite de fonction

Salut,

Après la transformation indiquée par Fred, développe le numérateur puis divise le numérateur et le dénominateur par x.

gerard

Invité

Re : limite de fonction

a ouias j'avais pas fait gaffe cela part
il reste donc  [tex]\frac{-{x}^{2}}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+{x}^{2}}\right)}[/tex]

donc la limites est 1 :

pour l'autre exemples faut til faire pareil ??

gerard

Invité

Re : limite de fonction

enfin au denominateur il y a plus le x desolé

oui donc pour l'autre si on fait la quantité conjugé pareil on  a :

[tex]\frac{-x}{\sqrt{1+{x}^{2}}+\sqrt{1+x}}[/tex]

cela tend vers 1 quand x tend vers l'infini ?

yoshi

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Re : limite de fonction

Salut,

Vous l'avez peut-être remarqué, notre connexion est mauvaise, alors serrez les dents, attachez vos ceintures, mettez vos masques à oxygène, ça va décoiffer : Bibm@th va migrer d'ici peu sous des cieux plus cléments (i.e changer d'hébergeur...)
S'il devait y avoir des pertes, elles ne devraient être que minimes...

Exo 1 la réponse est 1/2 et pas 1 :
[tex]\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x-x}+\sqrt{1+x^2})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x^2})}=\frac{x(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x^2})}=\frac{1-x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x^2}}[/tex]
La limite du numérateur quand x tend vers 0 est 1, elle du dénominateur, 2.

@+

gerard

Invité

Re : limite de fonction

a ouias pardon et mon deuxieme calcul est bon?

gerard

Invité

Re : limite de fonction

[EDIT]@yoshi : j'ai rassemblé tes deux posts en 1 seul parce que la formule ne s'affiche pas s'il n'y a pas de texte avant. D'où l'intérêt de la formule de politesse, d'ailleurs ^_^
Une limite à la fois s'il te plaît et aie la patience d'attendre ta réponse, quand même...
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Après j'ai la lim quand x tend vers 0 de :

[tex]\frac{\ln \,\left(1+{x}^{2}\right)}{{\sin }^{2}x}[/tex]

yoshi

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Re : limite de fonction

Re,

a ouias pardon et mon deuxieme calcul est bon?

Nan, dans l'autre  exo, il reste encore x au dénominateur (on part de x²)...
Le numérateur x-1 tend vers -1, le dénominateur vers 0+ * 2 ou 0- * 2, le tout tend donc vers -oo si x tend vers 0 par valeurs positives, +oo si x tend vers 0 par valeurs négatives...

@+

gerard

Invité

Re : limite de fonction

je trouve pas pareil j'ai sa moi :

[tex]\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}-\sqrt{1+x}}{{x}^{2}}=\,\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}-\sqrt{1+x}\left(\sqrt{1{+x}^{2}}+\sqrt{1+x}\right)}{{x}^{2}\left(\sqrt{1+{x}^{2}}+\sqrt{1+x}\right)}=\,\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}+\sqrt{1+x}}}[/tex]

gerard

Invité

Re : limite de fonction

pardon pour le post d'avant j'étais énervé pardon yoshi

yoshi

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Re : limite de fonction

Re,

Au numérateur, tu te retrouves avec [tex](1+x^²)-(1+x)= x^2-x =x(x-1)[/tex]
Le dénominateur est [tex]x^2(\sqrt{1+x^²}+\sqrt{1+x})[/tex]
Donc, je ne vois pas comment tu peux avoir un x en haut et pas en bas après simplification par x...

Si tu veux te convaincre de la justesse de des limites, prends donc soit un logiciel grapheur, soit une calculatrice graphique et regarde la tête qu'elle a au voisinage de 0 : tu seras édifié...

@+

gerard

Invité

Re : limite de fonction

ui mais alors la limite au numérateur en +infini et pas -1 comme tu a dit car on demande la limite en +infini

yoshi

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Re : limite de fonction

Re,

En ce qui concerne la limite c'est exact, c'est en +oo et pas en 0...
Ça n'enlève rien au fait que mon calcul est juste et le tien faux : à partir d'un certain moment; on dirait que tu zappes les calculs réels  et que tu les fais à l'estimation...
Bon,  à partir de la formule obtenue après multiplications par la quantité conjugué, il y a une 2e indétermination à lever : oo/oo...
On met x en facteur au numérateur x-1 =x(1-1/x) et on simplifie par x de nouveau (ce qui prouve d'ailleurs que j'aurais dû simplifier tout de suite par x², mais j'étais parti pour la limite en 0) :
le nouveau numérateur 1-1/x tend alors vers 1, le dénominateur vers +oo, le tout tend vers 0...

Ça te va ?

@+

yoshi

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Re : limite de fonction

B'soir,

Je continue : [tex]\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{\sin^2(x)}=1[/tex]

Au voisinage de 0, on a, c'est bien connu :
* [tex]\sin x \approx x[/tex]
* [tex]\ln(1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}...[/tex]

Voilà, t'es sur les rails : roulez, petits bolides !

@+