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#1 17-11-2010 13:26:46
- tibo
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application affine
Yop,
J'ai un DM à faire sur les applications affines, mais je n'ai malheureusement pas pu assister au cours portant sur ce sujet (hum,hum... oui bon d'accord j'ai seché mais je m'en mord les doigts maintenant).
Je solicite donc votre aide pour quelques questions.
Soit E un espace affine de dimension 3.
1) Donner l'expression analytique générale d'une application affine f dans un repère affine.
--> question de cours, mais je ne l'ai pas, il me semble que c'est ça:
f(M)=A.M+U
pour tout point M de E,
avec A, matrice de l'application linéaire associée
U, vecteur de dir(E)
2) En choisissant un repère approprié, donner une expression analytique simple des
applications affines suivantes : homothétie, projection, symétrie et affinité.
--> encore une question de cours...
homothétie h de centre A de rapport k
dans tout repère d'origine A
[tex]h(M)\ =\ k.I_3.M[/tex]
projection p sur le plan P de direction vect(e1,e2) parallèlement à la droite D de direction e3
A=P [tex]\cap[/tex] D
dans le repère (A,e1,e2,e3)
[tex]p(M)\ =\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.M[/tex]
symétrie s par rapport au plan P de direction vect(e1,e2) parallèlement à la droite D de direction e3
A=P [tex]\cap[/tex] D
dans le repère (A,e1,e2,e3)
[tex]p(M)\ =\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.M[/tex]
J'ai l'impression d'écrire des énormités à chaque mot.
Et l'affinité, je ne sais pas ce que c'est.
3) Donner la nature des applications affines suivantes :
[tex] \begin{cases} x'&=-y-z+1 \\ y'&=-2x-y-2z+2 \\ z'&=x+y+2z-1 \end{cases}[/tex]
Je n'y ai pas encore vraiment réfléchie mais je pense qu'il faut chercher les valeurs propres, diagonaliser et voir si on peut rapprocher ça des matrices vu en cours (haha...)
voila merci d'avance
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#2 17-11-2010 14:53:01
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Re : application affine
Je continue...
Pour M=(x, y, z) , f(M)=(x', y', z')
le système est équivalent à:
[tex]f(M)\ =\ \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} .M\ +\ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\ =\ A.M+u [/tex]
J'obtiens 1 valeur propre d'ordre 2 et -1 valeur propre d'ordre 1 (sauf erreur, ce qui très possible, j'aime pas les diagonalisations)
avec [tex]E_1[/tex] = vect((-1, 1, 0), (-1, 0, 1)) = <e1, e2>
et [tex]E_{-1}[/tex] = vect((1, 2, -1)) = <e3>
donc [tex]A\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}[/tex]
donc je pense que f est une symétrie par rapport à un plan de direction E_1 parallèlement à une droite de direction E_{-1}.
Mais je ne sais pas quoi faire maintenant pour finir...
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#3 17-11-2010 21:23:54
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : application affine
Salut,
Yop,
J'ai un DM à faire sur les applications affines, mais je n'ai malheureusement pas pu assister au cours portant sur ce sujet (hum,hum... oui bon d'accord j'ai seché mais je m'en mord les doigts maintenant).
Hihihi....
Je solicite donc votre aide pour quelques questions.
Soit E un espace affine de dimension 3.
1) Donner l'expression analytique générale d'une application affine f dans un repère affine.
--> question de cours, mais je ne l'ai pas, il me semble que c'est ça:
f(M)=A.M+U
pour tout point M de E,
avec A, matrice de l'application linéaire associée
U, vecteur de dir(E)
On écrirait plutôt
[tex]f(M)=O'+A(\overrightarrow{OM})[/tex],
où O est un point de E, O' son image par f, A est l'application linéaire associée à f
(on la note en général [tex]\vec{f}[/tex]).
2) En choisissant un repère approprié, donner une expression analytique simple des
applications affines suivantes : homothétie, projection, symétrie et affinité.
--> encore une question de cours...
homothétie h de centre A de rapport k
dans tout repère d'origine A
[tex]h(M)\ =\ k.I_3.M[/tex]projection p sur le plan P de direction vect(e1,e2) parallèlement à la droite D de direction e3
A=P [tex]\cap[/tex] D
dans le repère (A,e1,e2,e3)
[tex]p(M)\ =\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.M[/tex]symétrie s par rapport au plan P de direction vect(e1,e2) parallèlement à la droite D de direction e3
A=P [tex]\cap[/tex] D
dans le repère (A,e1,e2,e3)
[tex]p(M)\ =\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.M[/tex]
En gros, c'est cela, sauf qu'on ne l'écrirait pas ainsi...
On n'écrit pas B.M, pour B une application linéaire et M un point d'un espace affine.
Ce qu'on sait calculer, c'est l'image par B d'un vecteur.
Par exemple, pour l'homothétie, de centre A et de rapport k, cela donne
[tex]f(M)=A+k\overrightarrow{AM}[/tex]
J'ai l'impression d'écrire des énormités à chaque mot.
Et l'affinité, je ne sais pas ce que c'est.
Et Bibm@th, à quoi ca sert?
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … inite.html
Fred.
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#4 17-11-2010 21:45:14
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : application affine
Je continue...
Pour M=(x, y, z) , f(M)=(x', y', z')
le système est équivalent à:
[tex]f(M)\ =\ \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} .M\ +\ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\ =\ A.M+u [/tex]J'obtiens 1 valeur propre d'ordre 2 et -1 valeur propre d'ordre 1 (sauf erreur, ce qui très possible, j'aime pas les diagonalisations)
avec [tex]E_1[/tex] = vect((-1, 1, 0), (-1, 0, 1)) = <e1, e2>
et [tex]E_{-1}[/tex] = vect((1, 2, -1)) = <e3>donc [tex]A\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}[/tex]
donc je pense que f est une symétrie par rapport à un plan de direction E_1 parallèlement à une droite de direction E_{-1}.Mais je ne sais pas quoi faire maintenant pour finir...
Ben t'as fini, non?
Si tu réécris plutôt l'application affine sous la forme que je t'ai donnée, tu trouveras aussi un point par lequel passent le plan et la droite...
Fred.
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#5 18-11-2010 00:01:36
- tibo
- Membre expert
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Re : application affine
Merci
pour les questions 1) et 2) c bon.
pour la 3)
le point que j'ai noté u=(1,2,-1)
vu que j'ai changé de repère, ses coordonnées change non?
en multipliant par la matrice de passage je trouve O=(-4,-1,3)
donc [tex]f(M)=O+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.(\vec{OM})[/tex]
donc f symétrie par rapport au plan passant par O de direction vect(e1,e2) parallèlement à vect(e3)
c'est ça?
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#6 18-11-2010 10:02:54
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : application affine
En fait, ce qu'il faut que tu fasses, c'est que tu cherches le point B qui est invariant par cette transformation.
Elle s'écrit alors :
[tex]f(M)=B+\vec{f}(\vec{BM})[/tex].
Tu as prouvé que [tex]\vec{f}[/tex] est la symétrie vectorielle par rapport à [tex]E_1[/tex] parallèlement à [tex]E_{-1}[/tex].
Donc ta transformation f est la symétrie affine par rapport au plan vectoriel [tex]B+E_1[/tex] et parallèlement à [tex]B+E_{-1}[/tex]
Fred.
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#9 18-11-2010 18:52:26
- tibo
- Membre expert
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Re : application affine
Yop,
j'ai un autre système, que voila:
[tex]\begin{Bmatrix} x'\ =\ -2x+y+z+1 \\ y'\ =\ x-2y+z+1\\ z'\ =\ x+y-2z-1 \end{matrix}[/tex]
on voit que la matrice associé est symétrique.
peut-on en déduire immédiatement quelquechose sur la nature de f?
sinon apres calcul, je trouve comme valeurs propres
0 d'ordre 1 et -3 d'ordre 2
donc [tex]A\ \sim\ (-3). \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
de plus le point O=(1/2, 1/2, 0) est unique point invariant.
Puis-je en déduire que f est la composée d'une homotétie de centre O de rapport -3 avec la projection sur le plan passant par O de direction E_{-3} parallèlement à E_0 ?
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