Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Picatshou

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convergence

salut tout le monde, dans un exercice il est demandé de montrer que [x^(n+1)]/(n+1)! tend vers 0 quand n tend vers l'infini avec x quelconque , alors , un raisonnement par la méthode de D'ALEMBERT nous donne rapidement la réponse ,mais ce que je veux savoir est ce qu'on peut raisonner autrement  de la manière suivante  on a x^(n+1)=x.x.....x(n+1)fois ,et on a (n+1)!=1.2...............(n+1)
en faisant  le quotient des deux on obtient: x...........x/1..............(n+1) en faisant tendre  n vers l'infini le quotient  tend vers zéro ???
Dans quelle mesure ma réponse est juste ? merci d'avance pour la réponse.

tibo

Membre expert

Inscription : 23-01-2008

Messages : 1 097

Re : convergence

Salut,

dire que [tex]\frac{x^n}{n!}\ =\ \frac{\overbrace{ x\ *\ ...\ *\ x }^{n\ fois}}{1*2*\ ...\ *n}[/tex] tend vers 0 quand n tend vers l'infini est vrai,
mais j'ai l'impression que tu oublies que quand n tend vers l'infini, le nombre de x en haut de  la fraction augmente aussi.

Le plus simple est en effet d'utiliser le critère de d'Alembert, mais on peut le voir autrement:
à partir d'un certain rand N>x
[tex]\frac{x^n}{n!}\ =\ \underbrace{\frac{x^N}{N!}}_{>1\ fini}\ *\ \prod_{k=N+1}^n \frac{x}{k}[/tex]
Or pour k>N>x, x/k<1
et donc quand n tend vers l'infini, on a un produit infini de trucs inferieurs à 1
donc ça tend vers 0

C'est comme ça qu'on me l'a "montré" au lycée, quand on ne connaissait pas d'Alebert.
C'est un peu moins rigoureux, mais plus visuel.

J'espère t'avoir un peu répondu.

[edit] tiens le double post a disparu, yoshi serait-il passé par là?

Dernière modification par tibo (14-11-2010 19:21:23)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : convergence

Re,

Vi, mais c'était ça, où j'envoyais promener Picatshou en lui ayant au préalable rappelé que nous étions dimanche et lui ayant demandé s'il consentait à nos forumeurs, une vie personnelle ou de famille le dimanche...

D'autre part, comme notre ami est coutumier du fait, cela commence à ressembler à du harcèlement, et c'est prohibé par nos règles de fonctionnement...

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : convergence

Re,

Auteur: Picatshou

bonjour tout le monde , bonjour mr Yoshi:[je suis désolé pour le second post hier ,je ne sais pas que vous étiez en vacance]
{merci pour l'aide Tibo}:)
JE SUIS DéSOLé UNE SECONDE FOIS POUR TOUS LES MEMBRES DU FORUM:)

Désolé Picatshou ton post était présent 2 fois, j'ai supprimé le 2e et tout est parti : c'est encore un cas de post fantôme...
Le serveur Online ou la BDD du site a bugué...

Bon ceci dit, Picatshou, où ai-je écrit qu'on était en vacances ?
J'ai dit qu'on était DIMANCHE ! Ça y est, c'est mieux comme ça ? Je t'ai dit aussi que tu pouvais aussi comme un grand, penser par toi-même que les forumeurs, le dimanche pouvaient bénéficier d'un jour de repos...
Chez toi, je ne sais pas, mais ici les gens travaillent du lundi au samedi, et sont de repos le dimanche, jour où ils essaient penser loisir, famille, amis...
D'autre part, les vacances scolaires sont terminées depuis le 4/11/2010, soit 10 jours...

Alors puisqu'on y est, rappel des Règles de fonctionnement du forum :

Toute mention "urgent", "à l'aide", "aidez-moi" (liste non exhaustive), dans un message est inutile, tout comme l'est de poster plusieurs fois de suite le même : si l'un des membres du forum (ou un invité) possède la réponse, soyez sûr qu'il ne manquera pas de vous la donner.

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