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achraf_djy

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Série numériqUE

BJR!
svp une indication!
etudier la convergence de la série de terme général:
an= -1/2 integrale(de 0 à pi/2) de sin(2nx)tan(x/2)dx et calculer sa somme.

freddy

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Re : Série numériqUE

Salut,

Une indication : suivre la flèche -> puisqu'on demande de calculer la somme, donc on sait que la série converge ...

Coucou

Dernière modification par freddy (05-11-2010 10:33:14)

achraf_djy

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Re : Série numériqUE

Merci, freddy!
mais je bloque dans le calcule de sin(2x)+sin(4x)+...+sin(2nx)

freddy

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Re : Série numériqUE

Salut,

je te taquinai !

va voir là : http://integrals.wolfram.com/index.jsp? … ndom=false

Fred

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Re : Série numériqUE

Salut,

  As-tu essayé de simplifier
[tex]\sum_{k=0}^n \sin(2kx)[/tex] en utilisant que [tex]\sin(2kx)=\Im m(e^{2ikx})[/tex] et en utilisant la somme d'une série géométrique. J'ai l'impression qu'on tombe ensuite sur une intégrale qu'on sait calculer.

Fred.

freddy

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Re : Série numériqUE

BJR!
svp une indication!
étudier la convergence de la série de terme général :

[tex]a_n= -\frac12 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2nx)\times tan\left(\frac{x}{2}\right)\,dx[/tex]  et calculer sa somme.

Salut,

ton sujet est costaud a priori : connais tu la fonction Bêta incomplète ?

Car le terme général de ta suite en use, voire en abuse.

Sinon, je te suggère de calculer de proche en proche les premiers termes de la série, pour trouver qque chose d'aisément généralisable pour déterminer sa convergence.

Ensuite, tu pourras calculer sa somme.

A te lire.

freddy

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Re : Série numériqUE

Salut,

Problème pas simple, mais on peut le faire avancer avec de la technique et de la patience.

[tex]{a}_{1}=-\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi }{2}}_{0}\sin \left(2x\right)\tan\left(\frac{x}{2}\right)dx=-4\int^{1}_{0}\frac{{t}^{2}\left(1-{t}^{2}\right)}{{\left(1+{{t}^{2}}^{}\right)}^{3}}dt\;\text{en posant}\;t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)[/tex] et en utilisant les formules correspondantes de l'arc moitié.

On sait qu'on a [tex]\sin \left(2x\right)\tan \left(\frac{x}{2}\right)=4\times \frac{{t}^{2}\left(1-{t}^{2}\right)}{{\left(1+{t}^{2}\right)}^{2}}[/tex] et  [tex]dx=\frac{2}{1+{t}^{2}}dt[/tex]

Sous le signe intégrale, une primitive est  [tex]-\frac{t}{2{\left(1+{t}^{2}\right)}^{2}}+\frac{3t}{4\left(1+{t}^{2}\right)}-\frac{Arctan\left(t\right)}{4}[/tex]

En définitive, on a  [tex]{a}_{1}=-1+\frac{\pi }{4}[/tex], sauf erreur.

Attaquons le second terme de la même manière ...

Dernière modification par freddy (08-11-2010 16:40:29)

Roro

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Re : Série numériqUE

Salut,

Pourquoi n'utilisez-vous pas l'idée de Fred qui me parait judicieuse... et classique pour ce type de calcul ?

Roro.

freddy

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Re : Série numériqUE

Re,

oui, l'idée de Fred est très astucieuse, mais j'ai envie de faire autrement.

achraf_djy

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Re : Série numériqUE

Merci infinément à vous tous!!!

freddy

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Re : Série numériqUE

Bigre,

voilà un sujet qui m'aura fait noircir bien du papier ... et consulter attentivement ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3 … 3%A9trique

Voilà ce que j'ai trouvé et que je laisse à la sagacité du lecteur.

Soit la série de terme général :

[tex]a_n= -\frac12 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin2nx\times tan\left(\frac{x}{2}\right)\,dx[/tex]

J'ai finalement suivi la piste de Fred l'indien, et on trouve quelque chose du genre :

[tex]S_n = \sum_{p=1}^n a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{n}{2} + \frac12\times \sum_{p=1}^{2n}(-1)^{2n-p}\,(2n+1-p) \cos px\right)\,dx[/tex]

soit :

[tex]S_n = n\frac{\pi}{4} + \frac12\times \sum_{p=1}^{2n}(-1)^{2n-p}\left(\frac{2n+1-p}{p}\right)\sin \frac{p\pi}{2}[/tex]

Dernière modification par freddy (15-11-2010 19:54:34)

freddy

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Re : Série numériqUE

Suite (et presque fin ...)

Il est ensuite intéressant de calculer la différence entre deux termes consécutifs, soit pour n entier positif non nul :

[tex]a_n=S_{n+1}-S_n=\frac{\pi}{4}+\sum_{p=1}^{2n} \frac{(-1)^p}{p} \sin p\frac{\pi}{2} - \frac{\cos n\pi}{2n+1}[/tex] après qques manipulations algébriques peu compliquées.

En développant, on a :

[tex]a_n=\frac{\pi}{4}-1+\frac13-\frac15+\frac17-\frac19+\cdots- \frac{\cos n\pi}{2n+1}[/tex]

Quand n tend vers + l'infini, on reconnaît (!?!) la formule deLeibnitz de -PI/4 dans la série alternée des inverses des termes impairs, ce qui permet de déduire que le terme général de la série tend vers 0.

La condition nécessaire de convergence est vérifiée.

Reste à calculer la somme de cette série.

Dernière modification par freddy (15-11-2010 19:56:49)

freddy

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Re : Série numériqUE

Fin finale ...

en faisant subir à la somme partielle les derniers outrages, on a :

[tex]S_n = n\frac{\pi}{4} + \frac{2n+1}{2}\times \sum_{p=1}^{2n}\frac{(-1)^{p}}{p}\sin \frac{p\pi}{2}-\frac12\sum_{p=1}^{2n}(-1)^p\sin\frac{p\pi}{2}[/tex]

En faisant tendre n vers + l'infini, la première somme converge vers -PI/4 et la seconde somme s'annule, car on a alternativement (-1+1) un nombre pair de fois.

Donc on conclut que la somme [tex]S=-\frac{\pi}{8}[/tex].

Arrividerci,

e pericoloso sporgesi !

Dernière modification par freddy (15-11-2010 23:05:41)

Roro

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Re : Série numériqUE

Bonsoir,

Moi aussi je suis l'idée de Fred. Dans les grandes lignes j'obtiens :

[tex]S = \sum_{n\geq 0} a_n = -\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \text{Im}\Big( \sum_{n\geq 0} e^{2inx} \Big) \tan(x/2) \, dx[/tex]

La série géométrique se calcule facilement : [tex]\sum_{n\geq 0} e^{2inx} = \frac{1}{1-e^{2ix}} = \frac{i\, e^{-ix}}{2\, \sin x}.[/tex]

On en déduit [tex]S = -\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{2 \, \sin x} \tan(x/2) \, dx[/tex]

En utilisant le changement de variable "standard" dans ce type d'intégrale : [tex]t=\tan(x/2)[/tex] on a
[tex]S = -\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1-t^2}{2(1+t^2)}\, dt = -\frac{1}{2} \int_0^1 \Big( -\frac{1}{2} + \frac{1}{1+t^2} \Big) \, dt = -\frac{1}{2} \Big[ -\frac{t}{2} + \mathrm{arctan} t \Big]_0^1 = \frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}.[/tex]

Je ne suis pas loin de Freddy... mais j'ai peut être fait une erreur !

Bonne nuit,
Roro.

freddy

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Re : Série numériqUE

Salut Roro,

tu as raison, il me manque le quart  ... je ne sais où et quand je l'ai égaré :-)

Une question tout de même : avant de calculer cette somme, comment établies tu la nature de cette série (avant de faire le calcul direct, bien entendu) ?

Dernière modification par freddy (15-11-2010 23:19:24)

freddy

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Re : Série numériqUE

Do you know what ?

I'm happy !!!

Le quart qui me manquait provient du mauvais traitement de la série alternée que j'ai inconsidérément réduite à 0.

En réalité, elle vaut 0 ou -1, c'est selon ... donc elle doit bien valoir quelque chose.

Alors, avant que Fred ne me tire les oreilles, j'ai cherché et en consultant la série de Grandi, j'ai (re)trouvé que cette série valait en réalité -1/2.

Je suis en phase avec l'ami Roro, et trouve bien que [tex]S=\frac14-\frac{\pi}{8}[/tex]

"Never an inch"

Dernière modification par freddy (17-11-2010 23:28:22)