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ayman12

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égalité de fonctions presque partout

bonjour , aidez moi s v p à résoudre cet exercice :
1- Soit  f  et  g  deux  fonctions  continues  de  de  R  dans  R   et  λ  la  mesure  de
Lebesgues. Montrer que f=g λ − pp ssi f=g.
2- Soit f et g quelconques et δ0 la mesure de Dirac en
0. Montrer que f=g δ0 −pp ssi f(0)=g(0).
merci.

Fred

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Re : égalité de fonctions presque partout

Bonsoir,

1. Un sens est évident...
Pour l'autre, suppose que f est différent de g en a, et prouve, comme f et g sont continues,
qu'elles sont différentes dans un ouvert contenant a.

2. Si f(0) est différent de g(0), tu as un ensemble de mesure non nulle où les deux fonctions sont différentes.
Réciproquement, si f(0)=g(0), puis [tex]\mathbb R\backslash \{0\}[/tex] est de mesure nulle pour la masse de Dirac en 0, f et g sont bien égales pp.

Fred.

ayman12

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Re : égalité de fonctions presque partout

merci bien , en fait on a trouvé une autre solution : l'ensemble [f différent g] est une partie de R de mesure nulle donc d'intérieure vide , par suite elle est partout dense. on prend un x de R , il existe une suite xn de l'ensemble précédente convergeant vers x , f et g sont continues , et on conclus .en fait votre méthode marche bien aussi.
la deuxième question est clair.
merci bien .

Elhamouti

Invité

Re : égalité de fonctions presque partout

Donnez moi le nom de ce livre ou bien de ce pdf ou je peux trouver ce genre d'exo s'il vous plait et merci d'avance