Forum de mathématiques - Bibm@th.net

clémentine

Invité

math analyse suite

coucou!!!!

comment allez vous?

alors maintenant j'ai un problème a une question voici l'énoncé de l'exercice

Soient des réels U0,a,b(ce sont des paramètres dans ce qui suit). On considère la suite (Un) définie par la relation de récurrence Un+1=aUn+b.

1)comment qualifie-t-on la suite (Un) lorsque que a=1?b=0,a [tex]\noteq [/tex] 0?

alors j'ai mis lorsque que a=1 la suite se qualifie suite arithmétique .
lorsque que b=0,a [tex]\noteq [/tex] 0 la suite se qualifie suite géométrique.

2) Exprimer le terme général Un dans les deux cas particulier de la question précédente?

lorsque que a=1 le terme générale (Un) est (Un)=U0+bn

lorsque que b=0 a [tex]\noteq [/tex] 0, le terme générale (Un) est (Un)=U0+ [tex]{b}^{n}[/tex].

3) Dans le cas général, calculer u1,u2,u3 en fonction des paramètres u0,a et b?

U1= aUo+b
U2=  [tex]{a}^{2}[/tex] U0+ab+b
U3=  [tex]{a}^{3}[/tex] U0+[tex]{a}^{2}[/tex] b+ab+b

4)Démontrer par recurrence que le terme générale de la suite est donnée par

Un=  [tex]{a}^{n}U_0+b\sum^{n}_{k=1}{a}^{n-k}[/tex]

c'est ici que je bloque je pense qu'il doit avoir un rapport avec la formule du binôme mais je n'y arrive pas
merci
bisous
clémentine

thadrien

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Re : math analyse suite

Salut,

1) Ça m'a l'air bon. Toutefois, j'ai du mal avec "b=0,a 0". Est-ce un bug d'affichage?

2) Attention à tes notations : [tex](U_n)[/tex] est la suite, Un est le nombre.
Pour [tex]a = 1[/tex], ta relation est correcte.
Pour [tex]b = 0[/tex], par contre, ta relation est fausse. C'est [tex]U_n = U_0 \cdot a^n[/tex]

3) Ok.

4) Pour démontrer une propriété [tex]P_n[/tex] (ici, [tex]U_n = a^n \cdot U_0 + b \cdot \sum_{k=1}^{n}{a^{n-k}}[/tex]) sur N, tu procèdes en deux temps :

a) Tu montres que [tex]P_0[/tex] est vraie. [tex]U_0 = a^0 \cdot U_0[/tex]. Donc [tex]P_0[/tex] est vraie.

b) On suppose que [tex]P_n[/tex] est vraie. On montre alors que [tex]P_{n+1}[/tex] est vraie aussi.

[tex]U_{n+1} = a \cdot U_n + b =  a \cdot \left [ a^n \cdot U_0 + b \cdot \sum_{k=1}^{n}{a^{n-k}} \right ] + b = a \cdot a^n \cdot U_0 + a \cdot b \cdot \sum_{k=1}^{n}{a^{n-k}} + b = a^{n+1} \cdot U_0 + b \cdot \sum_{k=1}^{n}{a^{n+1-k}} + b = a^{n+1} \cdot U_0 + b \cdot \sum_{k=1}^{n+1}{a^{n+1-k}}[/tex]

Le binôme de Newton n'intervient pas ici. C'est un calcul direct. La seule étape un peu délicate est de reconnaître [tex]b[/tex] comme étant [tex]b \cdot a^{n+1-k}[/tex] avec [tex]k = n + 1[/tex] pour l'inclure dans la somme.

A+
Hadrien

Dernière modification par thadrien (28-10-2010 20:59:41)

yoshi

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Re : math analyse suite

Salut,

Merci pour les bisous, c'est sympa, c'est un plaisir que de te répondre... ;-)
Le raisonnement par récurrence se fait en 3 étapes :
1. Vérification de la validité de la formule pour quelques valeurs simples, ici n =1, 2, 3.... Et ça tombe à pic, non ?
2. On suppose la propriété vraie pour n
3. On vérifie l'héritage, soit que vrai pour n ==> vrai pour n+1

Tu as :
[tex]U_1= a^1U_0+b[/tex]
[tex]U_2= a^2 U_0+ab+b=a^1 U_0+b(a+1)[/tex]
[tex]U_3= a^3 U_0+ a^2b+ab+b=a^3 U_0+ b(a^2+a+1)[/tex]

Et tu vois bien qu'il n'y a pas de rapport avec la formule du binôme, sinon tu devrais avoir a²+2a+1...

Tu écris simplement que [tex]U_{n+1}=aU_n+b = a(a^nU_0+b\,\sum_{k=1}^na^{n-k})+b[/tex]
Et tu te débrouilles pour arriver là :
[tex]U_{n+1}=a^{n+1}U_0+b\,\sum_{k=1}^{n+1}a^{n+1-k}[/tex]
Pas bien sorcier...

@+

[EDIT]
Arf, grillé par Hadrien...

clémentine

Invité

Re : math analyse suite

il n'y a pas de U0 a la fin si?

yoshi

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Re : math analyse suite

B'soi,

Qu'est-ce que tu veux dire par "à la fin", où ça "à la fin" ?

@+

clémentine

Invité

Re : math analyse suite

je pense que c'est thadrien qui c'est trompé dans son calcul alors car vous trouver pas le même résultat c'est pour cela a la derniere ligne il n'a pas de U0 lui

yoshi

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Re : math analyse suite

Re,

Ah, vi ! Effectivement, il y a bien un U0 qui s'est perdu en route chez Hadrien : ça arrive en écrivant LaTeX "à la main"...
Il ne s'est pas relu ;-)

@+

clémentine

Invité

Re : math analyse suite

j'en suis a cette ligne la du calcul

[tex]{u}_{n+1}=\,a.{u}_{n}+b\,=a\left[{a}_{n}{u}_{0}+b\sum^{n}_{k=1}{a}^{n-k}\right]+b =\,a.{a}_{n}{u}_{0}{+a.b\sum^{n}_{k=1}{a}^{n-k}+b={a}^{n+1}{U}_{0}+b\sum^{n}_{k=1}{a}^{n+1-k}+b}_{}[/tex] ..

c'est ici que je bloque

bisous

clémentine

Invité

Re : math analyse suite

?????

thadrien

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Re : math analyse suite

Salut,

Oui, un [tex]U_0[/tex] s'est perdu au passage. Cela me rappelle la belle époque où je tapais tous mes comptes rendus de TP à l'ordinateur. D'abord avec OpenOffice puis, quand j'en ai eu marre de l'éditeur d'équations d'OpenOffice et des styles (polices de caractères, taille, ...) qui changeaient dès que je faisais une mise à jour de l'OS, je suis passé à Latex. Le rendu était impeccable, professionnel, et impressionnait même mes profs. C'était le bon temps ! (Même si taper les formules sous Latex, c'est vraiment chiant !)

Le blocage que tu subis maintenant, je l'ai prédit, et même tellement bien que j'ai mis dans mon message :

La seule étape un peu délicate est de reconnaître [tex]b[/tex] comme étant [tex]b \cdot a^{n+1-k}[/tex] avec [tex]k = n + 1[/tex] pour l'inclure dans la somme.

A+
Hadrien

clémentine

Invité

Re : math analyse suite

oui tu prédis bien lol
alors j'ai fait ca jespere que ca seras bon

[tex]a.{a}_{n}{u}_{0}+a.b\sum^{n}_{k=1}{a}^{n-k}+b={a}^{n+1}{U}_{0}+b.\sum^{n}_{k=1}{a}^{n+1-k}+b={a}^{n+1}{u}_{0}+b\sum^{n+1}_{k=1}{a}^{n+1-k }[/tex]

Si j'ai bien compris c'est ca ?

ensuite je suis encore bloquer cette exercice est vraiment coriace mdr pour moi

5)
On suppose désormais  [tex]a\not = 1[/tex]  démontrer que pour tout n

[tex]\sum^{n}_{k=1}{a}^{n-k}=\frac{{a}^{n}-1}{a-1}[/tex]

je pense que vu que cette une suite géometrique ba il faut utiliser la formule ?

merci
bisous

freddy

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Re : math analyse suite

Salut,

pour a et b non nul, c'est une suite arithmético-géométrique.

Technique de résolution en fonction de n :

1) on cherche son point fixe p tel que [tex]p=ap+b[/tex]

2) Ensuite on travaille sur la suite [tex]v_n=u_n-p[/tex]

Voilà, tu as le début, regarde un peu la suite (exprime v en fonction de p et de n, puis reviens sur la suite u).

A te lire.

clémentine

Invité

Re : math analyse suite

desolé mais j'ai absolument rien compris avec la suiite (Vn)

je suis bloquer

freddy

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Re : math analyse suite

Re,

ben, tu devrais arriver à la conclusion que la suite translatée v est géométrique ... ce qui est bien commode, non ?!?

yoshi

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Re : math analyse suite

Re,

Vite fait, puis la suite à demain...
[tex]\sum_{k=1}^na^{n-k}=a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1[/tex]
Ça, c'est bien la somme des termes d'une suite géométrique [tex]W_n=a^n[/tex] de 1er terme [tex]W_0=a^0=1[/tex] et de raison a...
Si tu prenais a = 2, on aurait le coup des grains de blé sur les cases d'un échiquier dont le nombre double à chaque case (cf légende du brahmane Sissah).
Donc tu appliques la formule...
Freddy a lu en diagonale et a répondu trop vite...
Il m'arrive à cette heure là de ne plus avoir les idées très claires, mais pour cette fois, je ne pense pas...
Il a dû anticiper sur la question 6. (Je suis sûr que ça ne peut pas s'arrêter là...)

@+

freddy

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Re : math analyse suite

Glurps ...

oui, oui, j'ai traité de la question qui n'était pas posée ... Pardon !

Bon, à suivre, et moi aussi, j'aime bien les bisous !

clémentine

Invité

Re : math analyse suite

oui tout a fait donc j'ai directement mis l'égalité vu que ces une suite géometrique

oui c'est pas fini encore trois questions

6)Déduire de ce qui précede que :

[tex]{u}_{n=\,\frac{{a}^{n}\left({u}_{1}-{u}_{0}\right)-b}{a-1}}[/tex]

yoshi

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Re : math analyse suite

Re,

Ta formule est-elle bien [tex]U_n=\frac{a^n(U_1-U_0)-b}{a-1}[/tex]   ?
Parce que là tout est en indices chez toi...

Bon, je me réponds à moi-même..
Oui, c'est bien ça.
Alors Clémentine, là t'es en train de te faire peur : t'as juste à faire ce qu'on te dit : remplacer la somme par la formule, tout mettre sur le même dénominateur, réarranger le numérateur, et tu verras, ça coule de source... Même pas besoin de réfléchir !

@+

Dernière modification par yoshi (29-10-2010 08:48:46)

clémentine

Invité

Re : math analyse suite

exacte

merci pour tout vraiment merciiiiiii!!!!!!
gros bisousss