Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pokkiri

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écriture trigonométrique

Bonsoir à tous,

Je faisais un exercice sur les complexes mais je ne comprends pas ce passage :
[tex]{2}^{10}{e}^{i\frac{70\pi }{6}}={2}^{10}{e}^{i\frac{2\pi }{3}}[/tex]

Je pense que c'est avec la périodicité mais je n'arrive pas à le montrer proprement. Merci beaucoup de votre aide
A+

yoshi

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Re : écriture trigonométrique

Bonsoir,

Bin déjà [tex]{70\pi \over 6}[/tex], ça fait plusieurs tours de cadrans, ça...
On va ramener entre 0 et 2pi :
[tex]{70\pi \over 6}=\frac{35\pi}{3}=\frac{30\pi+5\pi}{3}=10\pi+\frac{50\pi}{3}=5 \times 2\pi+\frac{5\pi}{3}[/tex]
Donc [tex]e^{i\frac{35\pi}{3}}= e^{i\frac{5\pi}{3}}[/tex]

Ensuite : [tex]\frac{5\pi}{3}=\pi+\frac{2\pi}{3}[/tex].
Enfin, [tex]\cos(\pi+x)=-\cos(x)\;et\;\sin(\pi+x)=-\sin(x)[/tex]

Donc, y a un blème...

T'es sûr que la question n'est pas plutôt [tex]2^{10}e^{i\frac{70\pi}{6}}= 2^{10} e^{i\frac{-2\pi}{3}}[/tex] ??

@+

[EDIT]
Pour t'en convaincre (calculatrice) :
[tex]\cos\left(\frac{70\pi}{6}\right)= 0.5\;\;;\;\;\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)= -0.5[/tex]
[tex]\sin\left(\frac{70\pi}{6}\right)= 0.8660254...\;:\;\frac{\sqrt 3}{2}  \;\;;\;\;\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)= 0.8660254...[/tex]

pokkiri

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Re : écriture trigonométrique

Bonsoir,

Il s'agit de l'exercice 3 sur les nombres complexes sur notre site Bibmaths. Il faut donner la partie imaginaire et réelle de  [tex]{\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\right)}^{20}[/tex]

Dans le corrigé il y a bien écrit  [tex]{2}^{10}{e}^{i\frac{70\pi }{6}}=\,{2}^{10}{e}^{i\frac{2\pi }{3}}[/tex] , mais il y a peut être une erreur de frappe.

Au plaisir de vous lire

yoshi

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Re : écriture trigonométrique

RE,

C'est pas il est possible que...
Ce n'est pas possible autrement, voilà encore une preuve :
Si vraiment [tex]2^{10}e^{i\frac{70\pi }{6}}=\,{2}^{10}{e}^{i\frac{2\pi }{3}}[/tex],
alors doit avoir :
[tex]\frac{2^{10}e^{i\frac{35\pi}{3}} }{2^{10}e^{i\frac{2\pi}{3}}}=1[/tex]

Voyons cela :
[tex]\frac{2^{10}e^{i\frac{35\pi}{3}} }{2^{10}e^{i\frac{2\pi}{3}}}= e^{i\frac{35\pi}{3}}\times e^{-i\frac{2\pi}{3}}= e^{i\frac{35\pi}{3}-i\frac{2\pi}{3}}=e^{i\frac{35\pi-2\pi}{3}}=e^{i\frac{33\pi}{3}}=e^{i11\pi}=(e^{i\pi})^{11}=(-1)^{11}=-1[/tex]
Donc l'égalité est fausse...

@+

PS.
D'ailleurs, pokkiri, je suis allé jeter un œil sur la solution et franchement tu devais conclure toi-même à l'oubli du du signe.
Le dernier résultat donné par Fred est [tex]2^9(1-i\sqrt 3)[/tex]
Alors repartons de [tex]2^{10}e^{i\frac{2\pi}{3}}[/tex]  : 

[tex]2^{10}e^{i\frac{2\pi}{3}}=2^{10}\left(\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})\right)=2^{10}\left(-\frac 1 2 + i\frac {\sqrt 3}{2}\right)=2^9(-1+i\sqrt 3)[/tex]
Soit l'exact opposé de la solution donnée...
Et comme le résultat d'avant : [tex]2^{10}e^{i\frac{70\pi}{6}}[/tex], lui, est exact la seule conclusion logique qui devait être tirée c'est l'oubli du - pendant la frappe...

[EDIT]23 h 08 Corrigé par Fred....

Dernière modification par yoshi (29-10-2010 19:35:00)

pokkiri

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Re : écriture trigonométrique

Re,

Merci pour ton explication aussi claire. C'est vrai, j'aurai pu vérifier l'oublie de signe moi-même, je suis désolé. Je le ferai à l'avenir. Mais en tout cas, merci de prendre le temps d'expliquer les erreurs, c'est très gentil.

A+