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#1 17-10-2010 11:38:01
- Picatshou
- Membre
- Inscription : 01-11-2009
- Messages : 272
polynôme de lagrange
bonjour tout le monde ,
dans un exercice d'algèbre il est demandé de montrer que pour a0,........an [tex]\in K [/tex] 2 à 2 distincts et pour y0,......,yn;b0,...........,bn [tex]\in K [/tex]
Il existe un unique polynôme P [tex]\in K(2n+1)[X] [/tex]
tq P(ai)=yi et P'(ai)=bi ,quelque soit 0<=i<=n
alors j'ai pris l'application f:K [tex]2n+1[/tex] [X]->K^n+1
P -> (P(a0),.................,P(an))
alors on a Kerf={ Q[tex]\in K (2n+1)[X][/tex][X] [/tex];Q= [tex]\prod^{n}_{0}(X-ai).R[/tex];R[tex]\in K (n+1)[x] [/tex]}
je veux alors démontrer que le Ker est réduit à 0 donc injectivité de f et que la dimension de Imf=dim de K^(n+1)
d'où la bijectivité de f et donc l'unicité du polynôme ,je n'ai pas pu démontrer cette idée (problème de dimension )
y a t il quelqu'un qui puisse maider , et dans quelle mesure ma démarche est juste ?
merci d'avance pour votre support!
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#2 17-10-2010 14:22:18
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : polynôme de lagrange
Bonjour Picatshou,
Ton idée d'introduire une application et de montrer que c'est une bijection est bonne.
Mais, comme tu le soulignes à la fin de ton message, ton application n'a aucune chance d'être une bijection car ton ensemble de départ et celui d'arrivée n'ont pas la même dimension.
Je te conseille d'essayer avec cette application
[tex]f : P\in K_{2n+1}[X] \longmapsto (P(a_0),...,P(a_1),P'(a_0),...,P'(a_n))\in K^{2n+2}[/tex]
Bon courage et dis nous si tu bloques encore...
Roro.
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