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ayman12

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bonjour.
svp je veux la réponse à cet exo :
Soient X un ensemble et A une σ-algèbre sur X. Déterminer toutes les fonctions mesurables
de (X, A ) −→ R dans les cas suivants :
(1) A = {∅ , X } ,
(2) A = P (X),
(3) A = σ( { A n /n ≥ 1 } ) o`u  (A n )n est une partition de X.

Fred

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Re : demande d'aide

Salut,

  Plutôt que de donner la réponse, je vais t'inciter à réfléchir.

(1) Pour que ta fonction f soit mesurable, l'image réciproque de tout borélien de R doit être l'ensemble vide ou X tout entier. Si f prend deux valeurs distinctes, est-ce possible?

(2) Pour que ta fonction soit mesurable, l'image réciproque de tout borélien de R peut être n'importe quel élément de P(X), donc n'importe quelle partie de X. Est-ce que cela donne une contrainte?

Fred.

ayman12

Invité

Re : demande d'aide

bonjour.
pour 1- on se contente des intervalles de R de la forme  [tex]\left[a,+\infty \right[.

on   aura   donc   ou bien  \forall x\,f\left(x\right)<a\,\,\,ou\,bien\,\forall x\,f\left(x\right)\geq a\,[/tex] et ceci contredit le fait que f ait deux valeurs distinctes. par suite les dites fonctions sont les fonctions constantes.
pour 2- l'image réciproque d'un borélien de R est toujours une partie de X, donc toutes les fonctions de X dans R répondent à la question. n'est ce pas?
reste à répondre à la question 3.  merci bien.

Fred

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Re : demande d'aide

Re-

  Comme à la première question, essaie de prouver qu'une telle fonction ne peut pas prendre deux valeurs différentes sur A1 par exemple.

Fred.

ayman12

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Re : demande d'aide

bonjour.
j'ai réfléchis un petit peu. il y a ici deux questions:
- la fonction peut elle être étager : constante sur chaque Ai?
-et avant tous qu'est ce que ça va être σ( { A n /n ≥ 1 } ) dans ce cas?
merci de me donner la solution finale.