un problème sur les suites réccurentes d'ordre 2

mouna · 18-10-2010 22:21:49

bonjour, j'ai un problème sur es suites a faire mais je n'ai pas compris.
si vous pouvez m'aider faites moi signe svp.
voici le problème:
soit (Un) la suite de nombres réels définie par récurrence par la relation:
Un+2 = ½ ( √(Un) + √(Un+1) )
U0, U1 Є ]0, 1[
1.montrer que: pour tout nЄN, 1>Un+2 ≥min{Un+1, Un} ≥ min{U1, U0}
2.montrer que: il existe α Є ]0, 1[ pour tout nЄN*, l U2n+1 - U2nl ≤ 1/4α lU2n - U2n-2l

freddy · 18-10-2010 23:23:44

Coucou !

je te fais un signe ... en Latex !

soit [tex](U_n)[/tex] la suite de nombres réels définie par récurrence par la relation:

[tex]U_{n+2} =\frac12\left(\sqrt{U_n} + \sqrt{U_{n+1}}\right)[/tex]

[tex]U_0, U_1 \in ]0, 1[[/tex]

1.montrer que :

[tex]\forall n \in \mathbb{N}, 1 > U_{n+2} \ge Min\left(U_{n+1}, U_{n}\right) \ge Min\left(U_1, U_0\right)[/tex]

2.montrer que :

[tex]\exists a \in ]0, 1[,\; \forall n \in \mathbb{N}^*, \,|U_{2n+1} - U_{2n}| \le \frac{a}{4}\times |U_{2n} - U_{2(n-1)}|[/tex]

Sommes nous d'accord ?

Si oui, où est ton problème ?

Dernière modification par freddy (19-10-2010 13:36:49)

mouna · 18-10-2010 23:53:00

mon problème est comment montrer ses deux inégalités si vous pouvez me donner quelque indication et merci d'avance

freddy · 19-10-2010 08:04:40

Salut,

pour le 1), il faut que tu te rappelles que la fonction racine carrée est telle que :

[tex]x \in ]0,1[,\,\sqrt{x} > x[/tex] et que tu utilises la propriété de la moyenne arithmétique.

Pour le 2), commence par calculer la différence, élève au carré, développe et ... conclus

A plus.

Dernière modification par freddy (19-10-2010 13:46:46)

freddy · 22-10-2010 20:24:11

Plus personne ?

RAPPEL

soit [tex](U_n)[/tex] la suite de nombres réels définie par récurrence par la relation:

[tex]U_{n+2} =\frac12\left(\sqrt{U_n} + \sqrt{U_{n+1}}\right)[/tex]

[tex]U_0, U_1 \in ]0, 1[[/tex]

1.montrer que :

[tex]\forall n \in \mathbb{N}, 1 > U_{n+2} \ge Min\left(U_{n+1}, U_{n}\right) \ge Min\left(U_1, U_0\right)[/tex]

REPONSE

Pour le 1), on sait que si [tex]m=\frac{a+b}{2}[/tex] alors [tex]Min\left(a,b\right)\leq m\leq Max\left(a,b\right)[/tex]

Puisque en outre si [tex]x \in ]0,1[\Rightarrow \sqrt{x}\geq x[/tex], on a bien le résultat recherché.

yoole · 22-10-2010 21:01:57

salut sir freddy,j'aimerais que vous m'aidiez à resoudre ce probleme:soit la suite u=cos(n!pix) ,xappartient àR.montrer quelle converge si x appartient àQ.
S IL VOUS PLAIT JE NE MAITRISE PAS L OUTIL INFORMATIQUE.

mouna · 22-10-2010 23:20:21

merci monsieur freddy pour votre réponse mais j'ai pas compris votre idée et je n'ai pas trouver une solution si vous pouvez me donner une solution complète pour ce problème et merci d'avance et désolé pour tout ce retard

freddy · 23-10-2010 07:45:50

Bonjour,

voici un exemple : [tex]\frac{1+5}{2}=3[/tex]

tu es d'accord que [tex]Min\left(1,5\right)=1\leq 3\leq Max\left(1,5\right)=5[/tex] ?

C'est mieux ? Ou bien n'ai je pas compris ta demande ?

freddy · 23-10-2010 08:01:52

yoole a écrit :

salut sir freddy,j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre ce problème :
soit la suite [tex]u_n=\cos\left(n!\pi x\right),\;x \in \mathbb{R}[/tex]
montrer quelle converge si x appartient à Q.
S IL VOUS PLAIT JE NE MAITRISE PAS L OUTIL INFORMATIQUE.

En fait, moi non plus, je suis une quiche en informatique.

Dernière modification par freddy (24-10-2010 12:45:52)

freddy · 24-10-2010 13:12:35

Re,

bon, j'ai un peu consulté les astres.

Alors, si x est un élément de Q, alors on sait qu'il existe p de Z et q de N* tels que [tex]x=\frac{p}{q}[/tex]

Puisqu'on regarde n!, cela signifie qu'à partir de [tex]n\geq q[/tex] tout se ramène à la parité de abs(p).

Si abs(p) est pair, alors [tex]n\geq q\Rightarrow {u}_{n}=1[/tex]

si abs(p) est impair, alors [tex]n\geq q\Rightarrow {u}_{n}=-1[/tex]

Voilà, mon grand.

Bb

MODIFICATION

En fait, on se fiche de la parité de abs(p) car la factorielle de n est paire dès que n > 1

Donc la limite de u = 1 si x est dans Q.

Dernière modification par freddy (25-10-2010 13:26:01)

freddy · 25-10-2010 14:05:38

mouna a écrit :

merci monsieur freddy pour votre réponse mais j'ai pas compris votre idée et je n'ai pas trouver une solution si vous pouvez me donner une solution complète pour ce problème et merci d'avance et désolé pour tout ce retard

Bonjour,

tout bien considéré, je crois qu'il y a un problème dans la question 2.

L'énoncé est il correct ?

Dernière modification par freddy (25-10-2010 14:05:50)

freddy · 25-10-2010 17:45:10

fotsing a écrit :

Slt Mouna, Freddy t’a en fait bien repondu car en effet
[tex]\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \in\; ]0,1[ [/tex] ainsi [tex]U_{n+2}=\frac{\sqrt{U_{n+1}} + \sqrt{U_n}}{2} \geq \frac{U_{n+1} + U_n}{2} \geq min(U_{n+1},U_n)[/tex]

Merci bien

p'tain, ouf, merci guy, j'ai eu peur d'avoir fait une erreur ...

freddy · 26-10-2010 22:20:27

RAPPEL
soit [tex](U_n)[/tex] la suite de nombres réels définie par récurrence par la relation:
[tex]U_{n+2} =\frac12\left(\sqrt{U_n} + \sqrt{U_{n+1}}\right)[/tex]
[tex]U_0, U_1 \in ]0, 1[[/tex]
1.montrer que :
[tex]\forall n \in \mathbb{N}, 1 > U_{n+2} \ge Min\left(U_{n+1}, U_{n}\right) \ge Min\left(U_1, U_0\right)[/tex]
2.montrer que :
[tex]\exists a \in ]0, 1[,\; \forall n \in \mathbb{N}^*, \,|U_{2n+1} - U_{2n}| \le \frac{a}{2}\times |U_{2n} - U_{2(n-1)}|[/tex]

Je viens de corriger l'énoncé du 2.

L'idée de base est de calculer [tex]\left(U_{2n+1} - U_{2n}\right)^2=\frac{1}{4}\times \left(U_{2n} +U_{2n-2}-2\sqrt{U_{2n}U_{2n-2}}\right) \leq \frac{1}{4}\times \left(U_{2n} - U_{2n-2}\right)[/tex]

car [tex]-2\sqrt{U_{2n}U_{2n-2}}\leq -2\sqrt{U_{2n-2}U_{2n-2}}[/tex] puisque la suite est positive et croissante.

Donc [tex]a=\frac12[/tex].

Bb

Dernière modification par freddy (26-10-2010 22:21:57)

yoole · 15-11-2010 10:33:33

Bonjour, Monsieur FREDDY,loin de moi de vous choquer je ne m'étais jamais imaginé que sur le net ,il existait des personnes comme vous :qui vienne à aider leur prochain sans rien attendre en retour qu'une politesse.MERCI,j'imagine que vous avez actuellement des progets ,une famille,etc.Que l'eternel veille sur tout sans oublié une santé de fer pour un humaniste comme vous.Je vous présente des excuses pour le retard de ma réponse car je pensais la réponse à ma préoccupation serait dans ma boite.YOOLE
MON MAIL:deayoole@yahoo.fr

yoole · 15-11-2010 10:35:44

Bonjour, Monsieur FREDDY,loin de moi de vous choquer je ne m'étais jamais imaginé que sur le net ,il existait des personnes comme vous :qui vienne à aider leur prochain sans rien attendre en retour qu'une politesse.MERCI,j'imagine que vous avez actuellement des progets ,une famille,etc.Que l'eternel veille sur tout sans oublié une santé de fer pour un humaniste comme vous.Je vous présente des excuses pour le retard de ma réponse car je pensais la réponse à ma préoccupation serait dans ma boite.YOOLE
MON MAIL:deayoole@yahoo.fr

yoole · 15-11-2010 10:37:47

Bonjour, Monsieur FREDDY,loin de moi de vous choquer je ne m'étais jamais imaginé que sur le net ,il existait des personnes comme vous :qui vienne à aider leur prochain sans rien attendre en retour qu'une politesse.MERCI,j'imagine que vous avez actuellement des progets ,une famille,etc.Que l'eternel veille sur tout sans oublié une santé de fer pour un humaniste comme vous.Je vous présente des excuses pour le retard de ma réponse car je pensais la réponse à ma préoccupation serait dans ma boite.YOOLE
MON MAIL:deayoole@yahoo.fr

freddy · 15-11-2010 10:54:18

Salut l'ami,

dans l'intérêt de tous, on répond en public à chaque question intéressante, car plus on est nombreux à lire et à répondre, mieux on s'enrichit collectivement.

Donc je ne te répondrai pas dans ta boite mail. Par contre, pour chaque nouveau sujet, ouvre une nouvelle discussion STP.

Une bonne journée.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 18-10-2010 22:21:49

un problème sur les suites réccurentes d'ordre 2

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#3 18-10-2010 23:53:00

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#4 19-10-2010 08:04:40

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#5 22-10-2010 20:24:11

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#7 22-10-2010 23:20:21

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