Forum de mathématiques - Bibm@th.net

imane20

Membre

Inscription : 09-10-2010

Messages : 7

Frontière, Intérieure...

Bonsoir tpout le monde....

je suis une nouvelle membre dans ce forum...so j'aimerais que quelqu'un parmi vous m'aide à résoudre cet exercice ...et merci d'avance...

Montrer que:

1-[tex]Fr( \bar A) \subset Fr(A)[/tex]

2-[tex]Fr(A \cup B) \subset Fr(A) \cup Fr(B)[/tex]

3-A est ouvert alors [tex]A \subset Int( \bar A) [/tex]

avec [tex]Int [/tex] l'intérieure de A.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Frontière, Intérieure...

Bonsoir,

Ah, de la topologie. Il faut garder son calme...

1. On va appliquer la définition.
Soit [tex]x\in Fr(\bar A)[/tex]. Alors toute boule de rayon [tex]\varepsilon/2[/tex] centré en x
intersecte [tex]\bar A[/tex] et son complémentaire.
En particulier, elle intersecte le complémentaire de A également.
De plus, soit [tex]y\in \bar A\cap B(x,\varepsilon/2)[/tex]. Puisque [tex]y\in \bar A[/tex], toute boule de rayon
[tex]\varepsilon/2[/tex] de centre y intersecte A.
Mais,
[tex]B(y,\varepsilon/2)\subset B(x,\varepsilon)[/tex], et donc une boule de centre x et de rayon [tex]\varepsilon[/tex] intersecte A.
Ainsi, x est bien un point de la frontière de A.

2. On fait de la même façon. Tu prends x dans [tex]Fr(A\cup B)[/tex] et [tex]\varepsilon>0[/tex].
[tex]B(x,\varepsilon)[/tex] intersecte [tex]A\cup B[/tex]. Si elle intersecte A, prouve que x est dans
[tex]Fr(A)[/tex].

3. Soit [tex]x\in A[/tex]. Alors, puisque A est ouvert, il existe r>0 tel que [tex]B(x,r)\subset A[/tex].
Mais alors, [tex]B(x,r)\subset \bar A[/tex], et donc [tex]x\in Int(\bar A)[/tex].....

Fred.

imane20

Membre

Inscription : 09-10-2010

Messages : 7

Re : Frontière, Intérieure...

Salut Fred. Merci pour votre réponse. mais j aitrouvé un problème car on a pas encore étudier la notion de la boule. si y a une autre méthode sans utiliser la notion de la boule ça sera bien. par exemple en faissant intervenir la notion de l'adhérence ou intérieur déja étudier dans nore cours. Merci encore une fois.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Frontière, Intérieure...

Salut imane,

comme Fred est un professeur de l'université, il t'a répondu comme un prof du supérieur l'aurait fait.

Donc si tu as une autre définition d'un espace topologique (avec la notion d'ouvert {quoique la notion de boule convient bien pour un ouvert avec une métrique associée} par exemple), merci de préciser, Fred te répondra.

Va jeter un oeil là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … logie.html

et là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … b&quoi=311

Bb

Dernière modification par freddy (15-10-2010 21:18:28)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Frontière, Intérieure...

Hello !

I try to help you :-))

Si on se souvient que la frontière d'un ensemble A est le complémentaire de l'intérieur de A dans la fermeture de A, soit formellement :

[tex]x \in Fr\left(A\right) \Leftrightarrow x \in \overline{A}\setminus Int(A)[/tex]

et que la fermeture de [tex]\overline{A}[/tex] est la fermeture de A lui-même, soit

[tex]\overline{\overline{A}}=\overline{A}[/tex]

alors on voit bien que :

[tex]x \in Fr\left(\overline{A}\right) \Rightarrow x \in Fr\left(A\right)[/tex] ce qui établit le 1).

OK ?

Dernière modification par freddy (16-10-2010 11:30:22)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Frontière, Intérieure...

Re,

pour le 3), on sait que l'intérieur de la fermeture de A est un ouvert, puisque par définition, l'intérieur de X est la réunion de tous les ouverts contenu dans X, soit le plus grand ouvert contenu dans X et que la fermeture de X est l'intersection de tous les fermés contenant X.

Donc, puisque A est un ouvert, il est nécessairement inclus dans l'intérieur de la fermeture de A.

je reviens pour le 2) ...

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Frontière, Intérieure...

Hi,

pour le 2) voilà comment je ferais.

soit [tex]x \in\;Fr(A\cup B) \Rightarrow x \in \overline{A\cup B}\setminus Int(A\cup B) \Rightarrow x \in \overline{A}\setminus Int(A\cup B)\, \text{ou}\, x \in \overline{B}\setminus Int(A\cup B)[/tex].

Ensuite, on "voit"  que [tex]x \in \overline{A}\setminus Int(A\cup B)\,\Rightarrow x \in \overline{A}\setminus Int(A)[/tex] puisque [tex] A \subset (A\cup B)[/tex] ; et de la même manière pour la frontière de B.

On a bien le résultat du 2.

Bb

Dernière modification par freddy (19-11-2010 12:52:51)