Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mathieu64

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axiome

bonsoir,

je me mélange les pinceaux sur l'axiome de la borne supérieur dans R. Si c'est un axiome est ce que ça veut dire qu'il n'existe pas de demo? Et sinon j'ai l'impression que "les démos qui existent "utilisent l'axiome du choix.
C'est pas très clair mais si quelqun peut m'éclaircir sur le sujet.

Merci

Fred

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Re : axiome

Bonjour,

La propriété de la borne supérieure est ou bien un axiome, ou bien un théorème, et cela dépend de la façon dont on t'a défini les réels :
1. Si on t'a construit les réels, à l'aide de suites de Cauchy de rationnels par exemple, c'est un théorème que l'on peut prouver.
2. Si, comme c'est le plus probable, on ne t'a pas construit R, mais que tu as admis l'existence d'un corps ordonné blah blah blah vérifiant la propriété de la borne supérieure, alors c'est un axiome.

Pour le coup, cela n'a rien à voir avec l'axiome du choix...

Fred.

mathieu64

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Re : axiome

ok, merci pour la réponse. La dernière fois que je l'ai vu j'été en L1 math donc dans le cas "blah blah".Mais j'aimerai bien que tu donnes les grandes lignes de la preuve avec les suites de Cauchy. Au passage si tu peux aussi m'indiquer comment on montre que dans tout intervalle de R il y a un rationnel ca sera sympa.

Merci d'avance.