fonctions : encore des dérivées [Résolu]

laura-karine · 12-10-2010 10:05:33

Bonjour, j'ai quelques problèmes pour un exercice de math.

soit g la fonction définie sur R par g-x)=x^3+6x²+19x-26
je dois déterminer les réels a b c tels que g(x)=(x-1)(ax²+bx+c)
j'ai donc trouver a=1 , b=7 , c=26 , ce qui me donne (x-1)(x²+7x+26)
on me demande d'en déduire le signe de g(x) sur R, donc je pense que de -infini à 1, le signe est négatif et de 1 à +infini le signe est positif .
ensuite, on considère la fonction f définie sur ]-2;+infini[ par f(x)= x + 1 + 10 -7x
--------
(x+2)²

Montrer que, pour tout réel x de ]-2;+infini[ f'(x) = g(x)
-----------
(x+2)^3

Et là, je ne sais vraiment pas comment m'y prendre ..

yoshi · 12-10-2010 10:49:27

Re,

Tu fais des efforts d'affichage, c'est bien...
La phase ultime des efforts d'affichage c'est le passage au code LaTeX :
- Si tu as Java installé sur ta machine, tu peux cliquer sur le bouton"Insérer une équation" et tu te retrouves avec un éditeur de formules mathématiques type éditeur d'équations de Word, MathType ou OpenOffice... Aide en .pdf intégrée,
- Si tu n'as pas peur d'apprendre, tu suis le lien ci-dessus..

Bien, regarde comme c'est beau :
[tex]f(x)=x+1+\frac{10-7x}{(x+2)^2}[/tex]
c'est écrit avec ce code : f(x)=x+1+\frac{10-7x}{(x+2)^2} encadré par 2 balises [ tex] et [/tex ] (sans les espaces comme ça) :

[tex]f(x)=x+1+\frac{10-7x}{(x+2)^2}[/tex]

Comme quoi, même si on n'a pas Java installé, on peut le faire quand même...

Montrer que, pour tout réel x de [tex] ]-2\;;\;+\infty[,\;\;f'(x)=\frac{g(x)}{(x+2)^3}[/tex]
Et là, je ne sais vraiment pas comment m'y prendre ...

Bin, c'est tellement évident que tu dois aller "chercher midi à quatorze heures"...
Commence donc par la calculer cette dérivée !!! :-))

Je commence [tex]f'(x)=(x+1)' + \left(\frac{10-7x}{(x+2)^2}\right)'[/tex]

[tex]\left(\frac{10-7x}{(x+2)^2}\right)'=\left(\frac U V\right)'=\frac{U'V-UV'}{V^2}[/tex]

Avec :
[tex]U = 10-7x\;\to\;U'=.. ?..[/tex]
[tex]V = (x+2)^2\;\to\;V'=.. ?..[/tex]
Un conseil ne développe pas tout de suite ton numérateur, factorise-le d'abord en mettant (x+2) en facteur pour pouvoir simplifier numérateur et dénominateur par (x+2) pour repasser d'un dénominateur (x+2)^4 au dénominateur attendu (x+2)^3.
Ensuite il y a
* dérivée de (x+1) à mettre sur le dénominateur (x+2)^3,
* à faire une seule fraction,
* à développer (au numérateur) (x+2)^3, réduire et ordonner...

Et ô miracle, tu vois que ton numérateur n'est rien d'autre que g(x)...
As-tu besoin de ce ce rappel d'une identité remarquable de 2nde : [tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex] ?

Alors f'(x) = .. ? ..

@+

laura-karine · 12-10-2010 12:25:22

d'accord je vais essayer =)

donc ma dérivée me donne f'(x)= [tex]\left(x+1\right)\frac{-7{\left(x+2\right)}^{²}-\,\left(10-7x\right)2\left(x+2\right)}{{\left(x+2\right)}^{4}}[/tex]

et là, la factorisation me pose beaucoup problème ..

yoshi · 12-10-2010 12:37:47

Re,

Tu es allé trop vite en besogne... Où est la dérivée de x+1 ?
Mais tu t'es lancée et le résultat est très satisfaisant...
Bon ta dérivée est :
[tex]f'(x)=(x+1)' + \frac{7(x+2)^2-2(10-7x)(x+2)}{(x+2)^4}[/tex]

Donc occupons-nous de :
[tex]7(x+2)^2-2(10-7x)(x+2)[/tex]...
Eh, ragazza mia, questo l'hai già imparato 2 anni fanno...

Je te décompose (faut pas "jeter le bébé avec l'eau du bain" !) :
7(x+2)^2-2(10-7x)(x+2) = 7(x+2)(x+2) -2(10-7x)(x+2) =(x+2)[.......... - .............] = ?

Alors ?

@+

PS Je ne répondrai pas tout de suite, je pars à la manif...

laura-karine · 12-10-2010 12:48:43

la dérivée de (x+1) c'est 1 ?
et pourquoi c'est 7 et pas -7 au début ?

Valentin · 12-10-2010 13:24:41

bonjour laura,
pour ta démonstration et d'après la formule proposé par Yoshi, j'obtiens:
[tex]f'\left(x\right)=1-\frac{7\left(x+2\right)\left(x+2\right)+2\left(10-7x\right)\left(x+2\right)}{{\left(x+2\right)}^{4}}=\frac{{\left(x+2\right)}^{3}+7x-34}{{\left(x+2\right)}^{3}}[/tex]
Puis, en développant le numérateur, à partir de la formule proposée par Yoshi, on arrive au résultat demandé.
[tex]f'\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{{\left(x+2\right)}^{3}}[/tex]

laura-karine · 12-10-2010 13:47:38

je ne comprend pas comment tu obtient -34 enfaite ?

yoshi · 12-10-2010 15:29:02

Re,

Désolé Valentin, tu as eu raison de ne pas me faire confiance : oui,laura-karine, c'est bien -7 au début, d'un post sur l'autre, j'ai raté ce -...
Mais oui, on trouve bien 7x-34

N'allons quand même pas plus vite que la fanfare...
1. Oui (x+1)' c'est 1
2. On a donc [tex]f'(x)=1+ \frac{-7(x+2)^2-2(10-7x)(x+2)}{(x+2)^4}[/tex]
3. Je t'ai dit qu'il fallait continuer cette factorisation
-7(x+2)(x+2) -2(10-7x)(x+2) = (x+2)[.......... - .............] = ?
et si tu me donnais cette factorisation ?
4. Tu peux simplifier les calculs dans les crochets
5. Tu peux diviser numérateur et dénominateur par (x+2)
6. Tu arrives alors sur la forme [tex]f'(x)=1+\frac{ax+b}{(x+2)^3}[/tex]
a et b sont deux nombres entiers relatifs.
7. Et maintenant tu remplaces le 1 par [tex]\frac{(x+2)^3}{(x+2)^3}[/tex] pour tout mettre sur le même dénominateur...

Préviens quand tu es arrivée là...

@+

laura-karine · 12-10-2010 17:03:36

d'accord, j'ai donc fais
1+ [tex]\frac{\left[\left(x+2\right)\right]\left[-7\left(x+2\right)-2\left(10-7x\right)\right]}{\left(x+2)²\right)}[/tex]

1+ [tex]\frac{\left(x+2\right)\left(-7x-14-20+14x\right)}{\left(x+2\right)²}[/tex]

1+ [tex]\frac{(x+2)(7x-34)}{(x+2)^{4}}[/tex]

[tex]\frac{(x+2)^3(7x-34)}{(x+2)^3}[/tex]

? je me suis trompée sur les deux premières, jai mis au carré mais je voulais mettre ^4

yoshi · 12-10-2010 17:52:32

Bonsoir,

Oui c'est presque ça...
sauf que ce n'est pas un produit au numérateur mais une somme : il y avait 1 + fraction et non 1 * fraction :
[tex]f'(x)=\frac{(x+2)^3+(7x-34)}{(x+2)^3}[/tex]

Alors maintenant il te reste à développer [tex](x+2)^3[/tex] et à ajouter ce développement à 7x-34...

Allez, go !
Et reviens avec tes résultats...

@+

laura-karine · 12-10-2010 18:12:54

alors ca me donne [tex]\frac{x^3+6x²+6x²+8+7x-34}{(x+2)^3}[/tex]

mon développement est bon déjà ?

yoshi · 12-10-2010 18:40:12

Re,

Hélas, non...
Laura-karine, tu "ne feras pas de vieux os" dans cette classe (1S ou 1ES ?), si tu ne serres pas très fort les boulons du calcul littéral, parce que là tu as de grosses faiblesses, ou alors, cest l'Editeur d'équations qui te joue des tours...

Je te le redis :
[tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]

Donc ça, c'est juste : [tex]x^3+6x^2+........+8[/tex]
Tu as deux fois de suite 6x², le 2e est faux : il est censé correspondre à 3ab²...
a c'est x, b c'est 2, donc 3ab² c'est : 3 * x * 2² ok ?
Alors, rectifie , ajoute ça à 7x-34 et tu verras que tu tombes bien sur g(x)

Allez, reprends et reviens en criant victoire !

@+

laura-karine · 12-10-2010 18:56:59

en effet, j'ai beaucoup de problèmes en mathématiques, en sortant de 3ème j'ai fais un cap coiffure que j'ai obtenu mais j'ai dû arrêter pour causes d'allergies donc j'ai repris mes études en seconde générale et maintenant je suis en terminale ES mais j'ai beaucoup de difficultés à reprendre le parcours scolaire, ce n'est pas évident mais bon je m'accroche, en tout cas mille mercis pour votre aide vraiment ..

j'ai donc rectifier et je trouve : [tex]\frac{x^3+6x²+12x+8+7x-34}{(x+2)^3}[/tex]

[tex]\frac{x^3+6x²+19x-26}{(x+2)^3}[/tex] ce qui est égal à [tex]\frac{(x-1)(x²+7x+26)}{(x+2)^3}[/tex]

yoshi · 12-10-2010 19:42:17

Bonsoir,

Alors là, jeune-fille, bravo ! Bravissimo !
Je sais combien ce genre de parcours atypique est difficile à réaliser : tu as déjà fait un sacré chemin en quittant la vie active après la coiffure et un CAP, en passant le cap de la 2nde et de la 1ere ES.
Beaucoup d'élèves, pourtant bien mieux préparés, se sont cassés les dents, là où toi, tu poursuis ta route...
Sois fière de ce que tu as déjà réalisé et bien certaine qu'ici tu trouveras toute l'aide souhaitable pour que tu puisses progresser...

Ceci explique les quelques carences relevées...

Tu dois te mettre dans la tête, qu'en maths, les maîtres mots sont rigueur, ordre, méthode... Ces habitudes prises et devenues une 2nde nature, après ça roule 'enfin, ça devrait...).
Alors, j'ai bien fait de me montrer si didactique en coupant les calculs en tranches fines !

Je continuerai donc à te donner de la méthode autant que cela m'est possible...

Oui, c'est juste.
Tu pouvais t'arrêter à : [tex]f'(x)=\frac{x^3+6x^2+19x-26}{(x+2)^3}[/tex], parce que tu sais (c'est donné dans l'énoncé) que [tex]x^3+6x^2+19x-26[/tex] ce n'est rien d'autre que g(x)...

Par contre, à la place, pour répondre à la question et montrer que tu as bien fait le lien, tu pouvais ajouter :
[tex]\cdots = \frac{g(x)}{(x+2)^3}[/tex]

En ES, on te prend davantage par la main qu'en S, l'énoncé te guide pas à pas, donc suis le chemin qu'on te trace...

Je pense que l'exercice ne s'arrête pas là, j'attends la suite avec gourmandise... ;-)

Quand l'exo sera fini, quelques jours après, je te conseille de le refaire de A à Z en prêtant attention à chaque étape où tu as cafouillé : c'est la seule façon, ce travail (supplémentaire, hélas !), d'acquérir une maîtrise suffisante du calcul littéral, parce que sinon, t'es obligée de te concentrer sur la technique, et pas sur l'exercice, comme un mauvais instrumentiste...

Courage !

@+

laura-karine · 12-10-2010 19:56:08

merci beaucoup, ça donne du courage de trouver des personnes qui sont là pour nous aider ! je suis bien contente d'y être arrivée car j'ai l'impression d'avoir mieux compris, enfin c'est grâce à vous ! effectivement, je compte le refaire ce week-end, histoire de voir si j'ai tout compris.
effectivement, l'exercice ne s'arrête pas là..j'ai tout de même continué, dites-moi ce que vous en pensez :

étudier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f sur [-2;+infini[

j'ai donc mis dans mon tableau :

x -2 1 +infini
(x-1) - 0 +
(x²+7x+26) + +
(x+2)^3 0 + +
f'(x) 0 - 0 +
variations de f décroissante puis croissante

j'espère que j'ai été assez compréhensible =)

laura-karine · 12-10-2010 20:03:06

les 0 signifient les valeurs interdites ^^

yoshi · 12-10-2010 20:58:52

Re,

Oui, c'est juste.
Une remarque quand même...
L'énoncé t'a demandé :
1. De chercher le signe de g(x), ce que tu as fait,
2. D'établir que [tex]f'(x)=\frac{g(x)}{(x+2)^3}[//tex] ce que tu as aussi fait...

Donc tu peux raccourcir ton tableau

  x                      -2                  1                         +oo|

--------|----------------||------------------|----------------------------|

   g(x) |          -     ||          -       0                 +          |

--------|----------------||------------------|----------------------------|

(x+2)^3 |          -     ||          +       |                  +         |

--------|----------------||------------------|----------------------------|        

  f'(x) |          +     ||          -       |                 +          |

--------|----------------||------------------|----------------------------|

        |                ||         +oo \           /+oo                  |

 f(x)   |                ||              \         /                      |

        |                ||               \ 7/3   /                       |

(L'intérêt des balises code, c'est qu'à l'intérieur toutes les lettres ont la même largeur)

Je serais surpris, f(x) étant défini sur ]-oo ; -2[ U ]-2 ; +oo[ que ton énoncé te demande les variations de f sur [-2 ; +oo[, pour moi, c'est plutôt sur ]-2 ; +oo[ pour exclure le -2, valeur interdite...

@+

laura-karine · 12-10-2010 21:12:36

et bien c'est parfait, merci pour tout encore, cela m'a beaucoup aidé et oui c'est bien ]-2;+infini[ pardon

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 12-10-2010 10:05:33

fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#2 12-10-2010 10:49:27

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#3 12-10-2010 12:25:22

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#4 12-10-2010 12:37:47

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#5 12-10-2010 12:48:43

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#6 12-10-2010 13:24:41

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#7 12-10-2010 13:47:38

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#8 12-10-2010 15:29:02

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#9 12-10-2010 17:03:36

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#10 12-10-2010 17:52:32

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#11 12-10-2010 18:12:54

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#12 12-10-2010 18:40:12

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#13 12-10-2010 18:56:59

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#14 12-10-2010 19:42:17

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#15 12-10-2010 19:56:08

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#16 12-10-2010 20:03:06

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#17 12-10-2010 20:58:52

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

#18 12-10-2010 21:12:36

Re : fonctions : encore des dérivées [Résolu]

Pied de page des forums