Point milieu d'un arc de cercle

jnjn63 · 04-10-2010 21:31:33

Bonjour à tous,

Je suis bloqué depuis pas mal de temps sur le problème suivant:

J'ai un arc de cercle définit par 2 points X1Y1 et X2Y2, son centre X3Y3 et son rayon R. A partir de ces informations je souhaiterai connaitre les coordonnées du point milieu de cet arc. J'ai tenté une résolution en passant par les nombres complexes sous forme trigonométrique mais je me retrouve parfois avec des erreurs en fonction de l'orientation de l'arc... Avez-vous une méthode plus simple?

Merci d'avance pour votre aide..

PS: Petite précision, je cherche à résoudre ce problème par des formules, la méthode graphique est bien sur trés simple..

Dernière modification par jnjn63 (04-10-2010 21:32:54)

thadrien · 04-10-2010 22:47:51

Salut,

Plutôt de refaire le calcul, et probablement refaire ce que tu as déjà fait, je propose que tu nous envoies ce que tu as fait. Comme ca, on peut tenter de débusquer l'erreur.

A+

jnjn63 · 05-10-2010 06:29:24

Alors voici ce que j'ai fait:
X1Y1 point de départ de l'arc
X2Y2 point d'arrivée
X3Y3 point de centre
R Rayon du cercle

Dans l'ordre (j'utilise ces formules dans un logiciel)
Je positionne mon cercle à l'origine de mon repère
m1=X1-X3
m2=Y1-Y3
Je calcul l'argument du nombre complexe équivalent à ce point
m4=atan(M2/M1)

Je fait la même chose avec le point d'arrivée de l'arc
m5=X2-X3
m6=Y2-Y3
m7=M6/M5
m8=atan(m6/m5)

Je trouve l'angle milieu formé par ces deux complexes
m9=(M4+M8)/2
Je récupère
alors un 3eme complexe de module R et d'argument m9
Je le ramène sous forme cartésienne
X4=Rcos(M9)
Y4=Rsin(M9)

Je déplace mes points de l'origine vers le vrai point de centre:
X3=X3+X4
Y3=Y3+Y4

J'ai déjà du mettre une condition si X2 est négatif, je fait X3-X4 et Y3-Y4 pour que les signes soient bons. Malheureusement ca ne marche toujours pas dans certains cas que je n'arrive pas à isoler d'ailleurs..

Merci!

yoshi · 05-10-2010 10:56:42

Salut,

Et bienvenue sur BibM@th...
Je viens de réfléchir rapidement, mais pas sur ce que tu as fait (j'ai survolé) : tu n'as respecté les notations habituelles et c'est un peu difficile à suivre.
En outre, Fred, l'admin du site, s'est fendu d'une magnifique interface (en Java) homme-LaTex, un éditeur de formules mathématiques en LaTex à laquelle tu peux accéder (si Java installé sur ta machine : dans le cas contraire, suivre le lien Code LateX) via un clic sur Insérer une équation.
Ainsi écrites les formules sont bien plus lisibles. Peux-tu y penser ?
Donc :
soit un repère orthonormé(O, I, J), et les points [tex]C(a\; ;\; b),\;A(x_1\;;\;y_1)\;et\;B(x_2\;;\;y_2)[/tex], C étant le centre du cercle.

Je pose le changement de repère suivant X = x-a et Y = y-b pour un repère centré sur le point C centre du cercle.
Je note A, le 1er point dans le sens trigonométrique et B le 2nd.
Avec l'arc tangente, on travaille à pi près, alors que tu devrais travailler sur [0 ; 2pi]...

Dans ce nouveau repère on a [tex]C(0\; ;\; 0),\;A(X_1\;;\;Y_1)\;et\;B(X_2\;;\;Y_2)[/tex]
[tex]z_A=R(\cos\alpha + i\sin \alpha)\;;\;\alpha=\arccos \left({X1 \over R}\right)[/tex]

Et maintenant, il y a 2 cas : X1*Y1 >0 et X1*Y1 <0
* Dans le 1er cas, A est dans les quadrants 1 ou 3, selon que X1 est négatif ou pas. Si X1 est négatif alors l'angle est 2pi-alpha, alpha dans le cas contraire.
* 2e cas X1Y1 <0 alors A appartient aux quadrants 2 ou 4, selon que X1 est négatif ou pas.
Si X1 est négatif alors l'angle est alpha, 2pi-alpha dans le cas contraire.

On recommence pour B
Les angles [tex]\alpha\;et\;\beta[/tex] appartiennent donc à l'intervalle [tex][0\;;\;2\pi]\;avec\;\beta\geq \alpha[/tex]

Après, en principe je te suis..

Après les coordonnées de M milieu de l'arc AB, sont [tex]X_3=R\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\;;\;Y_3=R\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\right)[/tex]
Et on retourne dans le repère initial par x3 = X3 + a et Y3 = Y3 + b

Je pense que ce doit être bon.

@+

pas glop · 06-10-2010 21:47:26

Une autre idée de solution.

On effectue le même changement de variable pour avoir un cercle centré sur l'origine.

L'équation du cercle est [tex]x^2+y^2-R=0[/tex].

La droite passant par le milieu de l'arc passe par le milieu du segment [AB] de coordonnées [tex](\frac{x_a+x_b}{2},\frac{y_a+y_b}{2})[/tex].

L'équation de la droite passant par l'origine et le milieu de [AB] est [tex]\frac{y_a+y_b}{2}x=\frac{x_a+x_b}{2}y[/tex].

Il y a 2 points d'intersection entre la droite précédente et le cercle. Il faut résoudre le système formé des 2 équations.

On trouve :
[tex]x^2=R\frac{\left(\frac{x_a+x_b}{2}\right)^2}{\left(\frac{x_a+x_b}{2}\right)^2+\left(\frac{y_a+y_b}{2}\right)^2}[/tex]

C'est similaire pour [tex]y^2[/tex], il faut juste remplacer le numérateur. Le signe de x (respectivement y) est celui de [tex]\frac{x_a+x_b}{2}[/tex] (respectivement de [tex]\frac{y_a+y_b}{2}[/tex]).

Il doit y avoir d'autres méthodes pour résoudre le problème. La bonne méthode étant celle qui t'es intuitive.

pas glop · 06-10-2010 21:56:34

EDIT : le raisonnement ne fonctionne pas si le milieu de [AB] est le centre du cercle.

freddy · 06-10-2010 22:18:02

Salut,

il faut parler de la médiatrice du segment [AB], non ?

pas glop · 06-10-2010 22:32:48

arf, bien vu freddy. au temps pour moi. il faut donc modifier l'équation de la droite en conséquence.

[tex](y_b-y_a)(x-\frac{x_a+x_b}{2})=(x_b-x_a)(y-\frac{y_a+y_b}{2})[/tex] ?

jnjn63 · 08-10-2010 12:41:01

Bonjour et merci pour votre aide!

Je viens de regarder la méthode de yoshi qui me parait être la plus facile à retranscrire dans un langage de programmation. Ca fonctionne trés bien dans une majorité de cas sauf celui que je vais vous soumettre.. Je n'arrive pas à trouver ce qui pose problème..
Données:
[tex]C\left(0;0\right)[/tex]

[tex]A\left(2,86;14,49\right)[/tex]
[tex]B\left(2,86;-14,41\right)[/tex]

A est le 1er point dans le sens trigo
[tex]a\cos \left(\frac{2,86}{14,73}\right)=1,57\,et\,a\cos \left(\frac{2,86}{14,73}\right)=1,57[/tex]

Comme XaYa>0 et Xa>0 je ne touche pas à l'angle Alpha
Comme XbYb<0 et Xb>0, beta=2pi-1,57=4,72

Ce qui me fait un angle médian de 3,14 alors que dans la configuration de mon arc cet angle devrait être de 0 (beta à -1,57)

Je pense que c'est en partie du au fait que Xa=Xb et c'est pareil avec Ya=Yb mais je n'arrive pas à poser dans quelle condition il faut inverser l'angle..

Dernière modification par jnjn63 (08-10-2010 12:55:21)

yoshi · 08-10-2010 14:12:42

Re,

C'est bien à la programmation que j'ai pensé...
Bon, en fait, ça fait un moment que je me suis aperçu d'une chose : ll n'y a pas un point milieu mais deux !
J'ai supposé d'après tes écrits que tu voulais celui qui est placé entre A et B dans le sens trigonométrique.
Ici, ton point milieu est bien au bon endroit :
A est dans le 1er quadrant, B dans le quatrième et A et B sont symétriques par rapport à l'axe X'X.
Supposons que l'angle alpha avait mesuré Pi/6, dans ce cas j'aurais trouvé l'angle beta à 11pi/6
Dans ce cas :
* Si je cherche l'angle pour le milieu qu'on atteint en se déplaçant de A vers B dans le sens trigo, je trouve pi,
* Si je cherche l'angle pour le milieu qu'on atteint en se déplaçant de A vers B dans le sens inverse du trigo, je trouve 0.

Tu veux donc quel milieu, celui du plus petit arc ou celui du plus grand ?
En se déplaçant de A vers B dans le sens trigo, on parcourt le petit arc à condition que [tex]\beta - \alpha<\pi[/tex], le grand dans le cas contraire...

A toi de jouer, sachant que le résultat que tu obtiens est parfaitement cohérent...
Tu veux programmer avec quel langage ?

@+

Ps : Je vois que tu t'es lancé dans LaTeX sans passer par l'Editeur d'équation de Fred : tu as sauté le pas d'un coup, alors que non nombre hésitent...
C'est-y pas plus agréable et gratifiant comme ça ? ;-)

jnjn63 · 08-10-2010 14:44:05

En fait le langage est proche du basic ou presque... C'est un logiciel de programmation de machine numériques. En fait ce que je sais c'est que je parcours l'arc dans le sens trigo ou anti-trigo (vu que je dis au logiciel de la parcourir dans un sens ou dans l'autre) et je veux connaître le point milieu de l'arc parcouru... Il faut que je trouve la combine pour prendre en compte le sens du déplacement dans le calcul sachant qu'en inversant les points A et B ca ne marche pas ce serait trop facile!

Trés bien en tous cas LaTeX ;)

yoshi · 08-10-2010 15:33:06

Re,

Et bien avec ma méthode ce que j'ai posé comme conditions au départ B sera toujours après A dans le sens trigo...
Dans le cas des angles pi/6, 11pi/6 tu trouveras bien pi pour le milieu...
On peut rectifier ça, mais il faut que je sache pourquoi pi te gêne, et que tu veux 0.
On trouvera systématiquement pi, lorsque les 2 points A et B sont symétriques par rapport à l'axe X'X...
Si pi ne te convient pas, tu n'as qu'à ajouter une condition : [tex]\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}[/tex], si [tex]\gamma \approx \pi}[/tex] alors [tex]\gamma = 0[/tex], sauf qu'avec 0 tu obtiens le milieu de l'arc BA et non AB, dans le sens trigo, donc deux points diamétralement opposés

@+...

jnjn63 · 08-10-2010 18:27:52

en fait dans le cas ci-dessus je parcours mon arc dans le sens anti-trigo, ce qui fait que je devrait avoir mon point milieu coté 0 et non coté pi, mais bien entendu si je parcours cette arc de l'autre coté, il sera tout à fait normal d'avoir pi...
Je vais creuser un peu plus ca ce soir je pense...

yoshi · 08-10-2010 20:44:00

Re,

Juste une idée comme ça, et je pense qu'elle est juste...
Dans le sens horaire, compter négativement tout angle supérieur à pi !
[tex]\alpha =\alpha-2\pi\;ou\;\beta =\beta-2\pi[/tex] ou les deux selon le cas, et tout rentrera dans l'ordre.
Ainsi avec l'exemple [tex]{\pi \over 6}\;et,\;{11\pi \over 6},\;{11\pi \over 6}[/tex] s'écrit alors [tex]-{\pi \over 6}[/tex] Et l'angle médian vaut alors [tex]\frac{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{-\pi}{6}}{2}=0[/tex]

@+

jnjn63 · 10-10-2010 13:53:06

Bonjour,
Je suis pas sur d'avoir bien compris, en même temps je suis loin d'être calé en trigo.. Et dans le sens trigo alors ca se passerai comment?

J'ai eu une idée tt à l'heure pour prendre le problème différemment. Je fait le point milieu du segment formé par mes deux points de départ et d'arrivée... je trouve l'argument de ce point milieu x

Puis je calcul X et Y en prenant le rayon comme module
X3=Rcos(x)
Y3=Rsin(x)

La ça marche dans tous les cas, ou presque puisque ca marche uniquement si mon arc parcouru est le + petit des deux arcs passant par mes deux points...

D'un point de vu programmation c'est beaucoup plus léger, plus agréable à lire, mais il faut encore trouver l'astuce pour dire "si je parcoure mon grand arc, alors je dois ajouter pi à mon argument". Mais la je suis bloqué..est-ce possible au moins?

Dernière modification par jnjn63 (10-10-2010 17:28:12)

jnjn63 · 10-10-2010 18:58:44

Ça y est, j'ai trouvé, si la différence entre l'angle d'arrivée et l'angle de départ de mon arc est supérieure à pi alors il faut aller chercher le point diamétralement opposé soit x+pi.. ca a l'air de fonctionner tout ca ;)

yoshi · 10-10-2010 19:03:28

Re,

L'arc AB est forcément le grand arc si [tex]\beta - \alpha<\pi[/tex], le grand sinon...

Deux exemples, dans le sens trigo, pour des angles compris entre 0 et 2pi
* Si [tex]\alpha = {\pi \over 6}\:et\;\beta={11\pi \over 6},\; \beta-\alpha={10\pi \over 6}={5\pi \over 3}[/tex] grand arc...

* Si [tex]\alpha = {3\pi \over 4}\:et\;\beta={5\pi \over 4},\; \beta-\alpha={2\pi \over 4}={\pi \over 2}[/tex], petit arc...

Si tu donnais ton petit script pour ta programmation et la liste des mots-clés du langage utilisé ?
Il n'y a pas If ? ou Si ? ou une façon de contourner la difficulté dans le cas contraire ? Voilà pourquoi la liste des mots-clés serait la bienvenue...
En quoi cela te gène-t-il d'obtenir pi au lieu de 0 et dans quelles circonstances dois-tu avoir 0 ou pi ?
De plus, ta machine outil, quel type ? Un tour ? Une aléseuse ? Une perceuse ?
Tu lui demandes d'usiner des pièces cylindriques ? de forer un trou au milieu d'un arc, de tracer une gorge de part et d'autre du point médian ?

@+

jnjn63 · 10-10-2010 19:49:24

C'est pour piloter une machine spéciale qui suit des trajectoires quelconques dans le plan XY, c'est preque de l'usinage en contournage d'un profil.

Voici le script complet ainsi que l'explication des mots-clés. Pour IF/THEN etc. c'est du classique.

[CCW] --> sous-programme appelé par le logiciel lors d'un déplacement circulaire sens trigo
[CW] --> idem pour sens anti-trigo
X-Y --> coordonnées du point d'arrivée
$depX-$depY --> coordonnées du point de départ
aI-aJ --> coordonnées du point de centre
RAD --> rayon de l'arc
@XX --> Renvoi dans le sous programme XX
[XX] --> Sous programme XX
M1 à M9 --> Variables utilisables pour les calculs

[CCW] ; Rotation sens trigo
M1=X ; X Point A
M1=M1-aI ; X point A rapporté à 0
M2=Y ; Y Point A
M2=M2-aJ ; Y point A rapporté à 0
M3=$depX ; X point B
M3=M3-aI ; X Point B rapporté à 0
M4=$depY ; Y point B
M4=M4-aJ ; Y Point B rapporté à 0
@Calcul1a

[CW] ; Rotation sens anti-trigo
M1=$depX ; X Point A
M1=M1-aI ; X point A rapporté à 0
M2=$depY ; Y Point A
M2=M2-aJ ; Y point A rapporté à 0
M3=X ; X Point B
M3=M3-aI ; X point B rapporté à 0
M4=Y ; Y Point B
M4=M4-aJ ; Y point B rapporté à 0
@Calcul1a

[Calcul1a]
M6=arccos(M1/RAD) ; Calcul de alpha
M7=M1*M2 ; Calul de Xa*Ya pour test
IF (M7>0) AND (M1<0) THEN @Calcul1b
IF (M7>0) AND (M1>0) THEN @Calcul2a
IF (M7<0) AND (M1<0) THEN @Calcul2a
IF (M7<0) AND (M1>0) THEN @Calcul1b

[Calcul1b]
M6=(2*PI)-M6 ; Correction cadran de M6
@Calcul2a

[Calcul2a]
M8=arccos(M3/RAD) ; Calcul de béta
M9=M3*M4 ; Calcul de Xb*Yb pour test
IF (M9>0) AND (M3<0) THEN @Calcul2b
IF (M9>0) AND (M3>0) THEN @Calcul3
IF (M9<0) AND (M3<0) THEN @Calcul3
IF (M9<0) AND (M3>0) THEN @Calcul2b

[Calcul2b]
M8=(2*PI)-M8
@Calcul3

[Calcul3]
M2=(M6+M8)/2 ; Calcul angle median
$X3=RAD*cos(M2) ; Calcul X point milieu
$Y3=RAD*sin(M2) ; Calcul Y point milieu
M4=$X3+aI ; Retour au centre du départ
M5=$Y3+aJ ; Retour au centre du départ
R1 = !CFCW, <X>+,!M4,<Y>+, !M5,!X, !Y
$depX=X
$depY=Y

Dernière modification par jnjn63 (10-10-2010 19:51:03)

yoshi · 11-10-2010 10:14:14

Salut,

Ok, je vois mieux...
J'ai fait un point et pris un peu de recul...
Avertissement préalable (t'en as peut-être pas besoin).
Toutes les formules trigo ne prennent en entrée et ne donnent en sortie que des valeurs prises dans le sens... trigonométrique.

D'où ma question : pourquoi voudrais-tu parcourir ton cercle dans le sens horaire et non trigo ?

Ceci posé, je reviens à mes formules...
J'appelle D le point du cercle de coordonnées (0;R) dans le repère centré sur le cercle de centre C.
Avec les formules que j'ai établies, on obtient toujours le point M médian situé entre A et B dans le sens trigo, donc dans le cas de l'exemple où les points A et B sont symétriques par rapport à (CD), le point diamétralement opposé à D.

J'ai l'impression que tu souhaites avoir toujours le milieu du petit arc, c'est à dire :
* Si [tex]\alpha={\pi \over 3}\;et\;\beta={5\pi \over 3}[/tex], le point D,
* Si [tex]\alpha={2\pi \over 3}\;et\;\beta={4\pi \over 3}[/tex], le point diamétralement opposé à D.

Oui/Non ?

Dans ce cas modifier ton script ainsi (si toutes les valeurs déjà calculées sont bien accessibles en n'importe quel calcul ultérieur) :

[Calcul3]
M2=(M6+M8)/2 ; Calcul angle median
IF (M8-M6 >Pi OR M8 - M6 = Pi) THEN M2 = M2-Pi
$X3=RAD*cos(M2) ; Calcul X point milieu
$Y3=RAD*sin(M2) ; Calcul Y point milieu
M4=$X3+aI ; Retour au centre du départ
M5=$Y3+aJ ; Retour au centre du départ
R1 = !CFCW, <X>+,!M4,<Y>+, !M5,!X, !Y
$depX=X
$depY=Y

Est-ce que c'est suffisant ?

@+

jnjn63 · 11-10-2010 11:25:04

En fait lors de l'usinage je parcours mon arc dans un sens ou dans l'autre, ce qui fait que je peux à la fois parcourir mon grand arc dans le sens trigo ou inverse et idem pour le petit arc, tout dépend en fait de la configuration dans laquelle je me trouve dans mon usinage. Je parcours des arcs quelconque dans les 2 sens pour résumer.

Je viens d'essayer avec la modification que vous suggérez sans trop y réfléchir, et visiblement j'ai encore quelques point qui représente le point milieu de l'arc opposé à celui que je veux. Je vais essayer de me replonger dans tout ca ce soir..

yoshi · 11-10-2010 14:54:49

Re,

Allons bon...
Ce que je t'ai fourni comme modif te donnera systématiquement, en cas de parcours dans le sens trigo, le milieu du petit arc.
Voilà ce que je veux dire en images :

Est-ce que tu peux préciser :
* si les milieux ci-dessus sont placés à ta convenance, sinon pourquoi,
* qu'est-ce que ça change pour ta machine-outil de parcourir le cercle dans un sens ou l'autre...

@+

jnjn63 · 11-10-2010 18:34:48

Tout dépend, si mon outil parcours le grand arc ou le petit, ca dépend de ce que je veux comme motif..
Voici un exemple:

Dans ce cas je parcours des cercles enchaînés, une fois dans le sens trigo, une fois dans l'autre, parfois c'est le grand arc, parfois le petit. Pour la machine outil le sens du parcours a de l'importance, c'est le fait d'être en avalant ou en opposition au niveau de l'arête de coupe j'ai donc pas forcément le choix sur le sens.
Dans le cas présent je suis deux trajets quasi // mais dans 2 sens différents. Et il me faut le point milieu de toutes ces bête la ...

yoshi · 11-10-2010 20:13:01

Re,

ok !

Donc, ce n'est pas toujours le milieu du petit arc ou toujours le milieu du grand, c'est tantôt l'un, tantôt l'autre.
Donc un conseil avant de penser programmation, commence par essayer de formuler, en bon français, les conditions de sélection du petit ou grand arc pour le milieu.
Cela fait, on traduira informatiquement lesdites conditions...
C'est comme ça que moi je fais, quand j'ai un programme qui n'arrête pas de ne pas faire ce que j'attends de lui...

Donc, ne nous préoccupons pas pour l'instant du sens trigo ou pas...
Si je comprends ton dessin, la machine-outil parcourt tantôt des petits arcs de cercle, tantôt des grands, et tu veux le milieu des arcs de cercle parcourus ? C'est bien ça ?

Hmm... Je vais y réfléchir !

Intéressant.

@+

jnjn63 · 11-10-2010 21:31:12

L'avantage que j'ai trouvé à la formule utilisant la corde :
"Je fait le point milieu du segment formé par mes deux points de départ et d'arrivée... je trouve l'argument de ce point milieu x

Puis je calcul X et Y en prenant le rayon comme module
X3=Rcos(x)
Y3=Rsin(x)
"
Est celle qui me donne à tous les coups, dans tous les sens le point milieu du petit arc et dans toutes les conditions. Il me reste effectivement à trouver comment formuler "si l'arc parcouru est plus grand que pi, alors il faut faire tourner mon point x de pi" pour bien avoir le point milieu du grand arc cette fois ci..

yoshi · 11-10-2010 21:33:49

Re,

Ton langage de programmation connaît-il la "valeur absolue" ?

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 04-10-2010 21:31:33

Point milieu d'un arc de cercle

#2 04-10-2010 22:47:51

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#3 05-10-2010 06:29:24

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#4 05-10-2010 10:56:42

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#5 06-10-2010 21:47:26

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#6 06-10-2010 21:56:34

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#7 06-10-2010 22:18:02

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#8 06-10-2010 22:32:48

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#9 08-10-2010 12:41:01

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#10 08-10-2010 14:12:42

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#11 08-10-2010 14:44:05

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#12 08-10-2010 15:33:06

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#13 08-10-2010 18:27:52

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#14 08-10-2010 20:44:00

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#15 10-10-2010 13:53:06

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#17 10-10-2010 19:03:28

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#18 10-10-2010 19:49:24

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#24 11-10-2010 21:31:12

Re : Point milieu d'un arc de cercle

#25 11-10-2010 21:33:49

Re : Point milieu d'un arc de cercle

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