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#2 02-10-2010 23:27:48
- walid marweni
- Invité
Re : Series numériques
Je n'arrive pas à trouver la nature de cette série : [tex]{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}-{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n}[/tex]
Si quelqu'un pourrait me donner une piste. Merci d'avance
on calcul la limite de u(n) en trouvera égale 1 deffirent de 0 ce qui donne que la série de terme général u(n) est diverge.4
#3 03-10-2010 11:21:57
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : Series numériques
Salut,
manque de chance, [tex]{\lim }_{n\rightarrow +\infty }\left(u\left(n\right)\right)\rightarrow e-e=0[/tex]
car [tex]u\left(n\right)=\left(1+\frac{1}{n}\right)\times {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n}-{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{-1}\times {\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}[/tex]
Faut donc trouver autre chose.
Cherchons ...
Dernière modification par freddy (03-10-2010 11:24:27)
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#6 03-10-2010 23:01:25
- Vyve
- Invité
Re : Series numériques
Essaye de réécrire ça avec des exponentielles et du logarithme (définition d'une puissance)
Ensuite deux petits développements limités a l'intérieur des logarithme te permettront surement de conclure ;)
#7 04-10-2010 19:11:56
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Series numériques
Un petit coup de main ?
Pour n très grand, on a :
[tex]U(n)=exp\left(\left(n+1\right)\times ln{\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)-exp\left(n\times {\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\right)\equiv exp\left(1+\frac1n\right)-exp\left(1-\frac1n\right)[/tex]
soit encore :
[tex]u(n)\equiv e\times \left(1+\frac1n\right) - e\times \left(1-\frac1n\right)\equiv \frac{2e}{n}
[/tex]
Donc à partir d'un certain rang, le terme général de ta série est celui d'un série divergente (2e fois la série harmonique).
Il ne te reste plus qu'à conclure.
C'est bon ?
je sais, j'ai omis (in)volontairerement les [tex]o\left(\frac1n\right)[/tex]. J'espère que Fred ne m'en voudra pas trop ... sinon, le je laisse corriger.
Dernière modification par freddy (04-10-2010 19:23:59)
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#8 04-10-2010 20:09:25
- Roro
- Membre expert
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- Messages : 1 801
Re : Series numériques
Bonsoir,
Je passe avant Fred, et je dirais qu'il est important de mettre les "petits o" surtout qu'ici... freddy y est allé un peu fort !
Par exemple, [tex](n+1) \times \ln \Big( 1+\frac{1}{n} \Big) = (n+1) \times \Big( \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o(\frac{1}{n^2}) \Big) = 1 + \frac{1}{2n} + o(\frac{1}{n}).[/tex]
Roro.
P.S. Ceci dit, je pense qu'on se casse peut être la tête pour pas grand chose étant donné que la personne qui a posé la question (sans trop de "politesse") ne lira sans doute jamais nos réponses.
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#10 05-10-2010 09:32:13
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : Series numériques
Salut Roro,
c'est possible que celui qui nous a posé le pb ne revienne plus, mais je sais d'expérience que la solution inéressera toujours une ou plusieurs autres personnes.
C'est pour cela que je veille à donner une réponse, autant que faire se peut.
Amicalement,
Freddy
PS : donc si tu veux donner la soluce complète avec les petits o, je n'y verrai que des avantages.
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#11 05-10-2010 17:46:02
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Series numériques
Bonsoir,
Voici une proposition de réponse :
Pour n grand, on a
[tex] n \ln \Big( 1+ \frac{1}{n+1} \Big) = n \Big( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(n+1)^2} + o(\frac{1}{n^2})\Big) = \frac{1}{1+1/n} - \frac{1/n}{2(1+1/n)^2} + o(\frac{1}{n}) = 1-\frac{3}{2n} + o(\frac{1}{n}). [/tex]
Si on utilise l'autre développement que j'ai fait dans mon précédent message, on obtient
[tex]u_n = \mathrm{exp}\Big( 1+\frac{1}{2n} + \frac{1}{n}\varepsilon_1(\frac{1}{n}) \Big) - \mathrm{exp}\Big( 1-\frac{3}{2n} + \frac{1}{n}\varepsilon_2(\frac{1}{n}) \Big),[/tex]
où [tex]\varepsilon_1[/tex] et [tex]\varepsilon_2[/tex] sont deux fonctions qui tendent vers 0 en 0.
J'écris ensuite cette somme d'exponentielle de la façon suivante :
[tex]u_n = \mathrm{exp}\Big( 1-\frac{1}{2n} + \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big)
\times \Big[\mathrm{exp}\Big( \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big)
-
\mathrm{exp}\Big( -\frac{1}{n} - \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big) \Big].[/tex]
[tex]u_n = \mathrm{exp}\Big( 1-\frac{1}{2n} + \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big)
\times 2\mathrm{sh}\Big( \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2}(\frac{1}{n}) \Big).[/tex]
On en déduit que
[tex] u_n \sim 2\mathrm{e} \, \mathrm{sh} \Big(\frac{1}{n}\Big) \sim \frac{2\mathrm e}{n}.[/tex]
Puisque la série de terme général [tex]1/n[/tex] diverge, on en déduit que la série de terme général [tex]u_n[/tex] diverge.
Il y a peut être de multiples erreurs mais je vous laisse corriger !
Roro.
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#12 06-10-2010 09:05:13
- freddy
- Membre chevronné
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- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Series numériques
Salut Roro,
pour éviter d'avoir un sinus hyperbolique à traîner, ne suffit-il pas d'utiliser le résultat sur le DL de la composée de 2 fonctions = composition des DL correspondants tronquée au bon ordre ?
On a alors, à partir de l'expression de la suite après les DL des ln, en se souvenant qu'au voisinage de 0, [tex]exp(x)=1+x+o(x)[/tex]
[tex]u_n=e\times \left(1+\frac{1}{2n}-1+\frac{3}{2n}+o\left(\frac1n\right)\right)\equiv \frac{2e}{n}[/tex]
Tu achètes ? Qu'en penses tu, Fred ?
Freddy
Dernière modification par freddy (06-10-2010 09:05:40)
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#13 06-10-2010 10:00:35
Re : Series numériques
On en déduit que
[tex] u_n \sim 2\mathrm{e} \, \mathrm{sh} \Big(\frac{1}{n}\Big) \sim \frac{2\mathrm e}{n}.[/tex]Puisque la série de terme général [tex]1/n[/tex] diverge, on en déduit que la série de terme général [tex]u_n[/tex] diverge.
Il y a peut être de multiples erreurs mais je vous laisse corriger !
Roro.
Une précision à ajouter : c'est que 1/n, la série à laquelle tu compares u_n, est une série à termes positifs. Sinon, ca m'a l'air impeccable !
Dernière modification par thadrien (06-10-2010 10:01:00)
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#15 06-10-2010 20:03:02
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Series numériques
Une précision à ajouter : c'est que 1/n, la série à laquelle tu compares u_n, est une série à termes positifs. Sinon, ca m'a l'air impeccable !
Pour Thadrien, ta remarque est exacte...
D'ailleurs, je la martèle à mes étudiants de prépa capes tous les jours!
Fred.
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