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sam314

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topologie

Bonjour ; j ai quelques problemes a propos de la topologie

1) Montrer que l ensemble [tex]\left\{\right.\frac{a}{{3}^{n}},\,a\,\in \,\mathbb{Z}\,,\,n\,\in \,\mathbb{N}\,\left\}\right.[/tex] est dense dans [tex]\mathcal{R}[/tex] .

2)Montrer que [tex]\mathcal{R}  et  \mathcal{Q}[/tex] munis de leurs topologies induite par celle de [tex]\mathcal{R}[/tex] ne sont pas homéomorphes .

3) [tex] \mathcal{R}  privé  de  \mathcal{Q}\[/tex] muni de la topologie induite par celle de [tex]\mathcal{R}[/tex] est un espace séparable .

1) Je pense qu il faut montrer que l ensemble triadique engendre [tex]\mathcal{Q}[/tex] mais je ne vois pas comment faire .

3) je vois que les elements de cette topologie sont les irrationnels mais je ne vois pas quels sont les ouverts . Je sais qu ils sont de la forme [tex]\left\{\mathcal{R}  privé  de  \mathcal{Q}\cap \mathcal{O}\,,\,\mathcal{O}\,les\,ouverts\,de\,\mathcal{R}\,c\,est\,a\,dire\,les\,unions\,d\,intervalles\,ouverts\,\left\}\right.[/tex] mais j arrive pas a déterminer comment les ecrire et donc encore moins comment trouver une base denombrable dense de cette topoloogie .

Merci

Dernière modification par sam314 (25-09-2010 22:50:11)

Fred

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Re : topologie

Salut,

  Quelques indications très rapides pour tes questions :

1) La méthode est classique, et fonctionne pour n'importe quel entier au dénominateur. Soit x un réel.
Soit [tex]x_n=E(3^n)x/3^n[/tex]. Alors la suite [tex](x_n)[/tex] converge vers x.

2) Utilise le fait que [tex]\mathbb Q[/tex] n'est pas complet, et qu'un homéomorphisme préserve les suites de Cauchy.

3) Considère une base dénombrable d'ouverts de [tex]\mathbb R[/tex]. Leur trace dans [tex]\mathbb R\backslash \mathbb Q[/tex] devrait donner une base d'ouverts de cet ensemble.

Fred.

sam314

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Re : topologie

Re , bon ok je mets mes réponse :

1) topologie induite de Q sur R = [tex]\mathcal{Q}[/tex] = [tex]\left\{\right.Q\cap O\,/\,O\,ouvert\,de\,R\,\left\}\right.[/tex]
    topologie induite de Z sur Q = [tex]\mathcal{Z}[/tex] = [tex]\left\{\right.Z\cap O\,/\,O\,ouvert\,de\,R\,\left\}\right.[/tex]

Or les ouverts sur la topologie usuelle de R sont les réunions d intervalles ouverts ; donc en particulier les intervalles ouverts de la forme [tex] ]a,b[ a,b \in R [/tex] . Or Q est dense dans R donc [tex]\forall a,b\,\in \,R[/tex] l intervalle formé contient une infinité dénombrable de rationnels . D ou l on a :

[tex]\mathcal{Q}[/tex] = [tex]\left\{\right.\cup q\left(i\right);q\left(i\right)\in Q\,\forall i\,\left\}\right.[/tex]

[tex]\mathcal{Z}[/tex] = [tex]\left\{\right.\left[z\left(i\right)\right]\,;\,z\left(i\right)\in Z\,\forall i\left\}\right.[/tex]

Ainsi supposons qu il existe un homeomorphisme [tex]\psi[/tex] ;

[tex] \psi (Q,\mathcal{Q}) \rightarrow (Z,\mathcal{Z}) [/tex] est donc bijectif . A priori il existe des isomorphismes bijectifs de Z dans Q . Cela me parait évident

De plus il doit etre continue . Cela implique que tout ouvert fermé de Z doit etre ouvert fermé de Q . Et on remarque que [tex]\cup q\left(i\right)\,ne\,sont\,pas\,des\,fermés\,.[/tex] donc il y a contradiction .

2)Q est dense dans R ; donc soit [tex]\left\{\right.x\left(n\right)\,/\,n\in N\,/\,x\left(n\right)\in Q\,\left\}\right.[/tex] est un sous ensemble dense dans R alors l ensemble des boules de centre x(i) et de rayon [tex]\frac{1}{j}[/tex] avec (i,j) [tex]\mathcal{N}\times \mathcal{N}[/tex] etoile est une base dénombrable d ouverts .
Maintenant considérons la topologie induite de R sur R\Q qui est :

[tex]\left\{\right.Rprivé de Q\cap O,O\,\in \,\mathcal{O}\,base\,denombrable\,d\,ouverts\,de\,R\,\left\}\right.[/tex]
Or comme R\Q est dense dans R on a que [tex]\mathcal{B}\left(x\left(n\right),\frac{1}{j}\right)\,[/tex] contient une infinité indénombrable d irrationnels qui n est donc pas dénombrable .

3) Je ne comprends pas bien ton écriture . Je vois E(3^n) = 3^n . Et donc [tex] x_n=x [/tex] .

Merci pour l aide.

Fred

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Re : topologie

3) Je ne comprends pas bien ton écriture . Je vois E(3^n) = 3^n . Et donc [tex] x_n=x [/tex] .

Merci pour l aide.

Je voulais écrire [tex]E(3^n x)/3^n[/tex]

sam314

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Re : topologie

Re ; pour la 3) c'est OK . Par contre pour la 2) je suis toujours bloqué . Si tu pouvais m'aider un peu plus s'il te plait . Je me permet de rajouter une interrogation qui n'a rien a voir avec la topologie ; j aimerais savoir pourquoi SHS [tex]\in H_n[/tex] avec [tex] S,H \in H_n[/tex]

Merci de l'aide .

Dernière modification par sam314 (02-10-2010 22:34:43)