Forum de mathématiques - Bibm@th.net

balustre

Membre

Inscription : 23-09-2010

Messages : 6

Problème de probabilité par AROUE

Bonsoir,

Je m'excuse sincèrement pour le problème latex causé dans le post initial. Je me suis en effet emmelée les pinceaux entre prévisualiser et envoyer, penssant que la lenteur après prévisualiser provennait de ma connexion et non d'une erreur dans le code, que j'avais testé auparavant...

Dans tous les cas, la solution initilement donnée ne me paraissait pas correcte car elle supposait qu'à l'ordre n, il n'y avait le choix qu'entre 0 ou 1 fleur, alors qu'en fait, il peut y avoir à la (n+1)ieme génération :
[tex] X_n=0,~2~,4~,\cdots~,2^n[/tex]

il est alors plus compliqué de regarder un arbre entre une génération n et la génération suivante.

Il me parait plus simple de regarder le problème de la manière suivante :
- D'une part, la branche issue du cas où il n'y a pas de fleurs dès la deuxième génération. La probabilité de cette branche est alors [tex](1-p) \times 1 \times 1 \times \cdots \times1=1-p[/tex]

-D'autre part, la branche issue du cas où il y a deux fleurs dans la deuxième génération : Pour chacune de ces fleurs, le nombre de déscendants à considérer est donc rabaissé d'une unité ...(on retombe alors sur [tex]U_{n-1}[/tex]... puis sur [tex]p \times U_{n-1}^2[/tex] pour la totalité de la branche).

On a utilisé ici la formule suivante :
[tex]U_n=P(X_n=0 | X_2=0) \times P(X_2=0) + P(X_n=0 | X_2=2) \times P(X_2=2)[/tex]

---------------------------------------
Pour résumer, le problème posé était le suivant :
une fleur d'une génération peut engendrer à la génération suivante soit deux fleurs avec la probabilité p; soit aucune avec la probabilité 1 - p ; la génération 1 est constituée d'une fleur et les nombres de descendants de la génération n+1 est noté [tex]X_n[/tex] et [tex]U_n=P(X_n=0) [/tex].

Il faut montrer que [tex]U_{n} = p \times U_{n-1}^2 + 1-p[/tex]

Dernière modification par balustre (23-09-2010 23:36:56)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Problème de probabilité par AROUE

Salut,

je ne comprends pas bien la formulation.

Comment fais tu pour passer de [tex]U_2[/tex] à [tex]U_{n-1}[/tex] ?

Es tu sûr de l'énoncé ? Perso, je n'ai bien bien compris les notations, qui n'étaient pas en Latex

Comment est définie la variable aléatoire X ?

Dernière modification par freddy (25-09-2010 20:15:54)

balustre

Membre

Inscription : 23-09-2010

Messages : 6

Re : Problème de probabilité par AROUE

Bonsoir,

Pour l'énoncé, je pense l'avoir bien compris, mais il faudrait retrouver le post original avec l'énoncé pour être certain.

La variable aléatoire [tex]X_n[/tex] représente le nombre de fleurs à la génération n+1.

Pour passer de [tex]U_{n-1}[/tex] à [tex]U_n[/tex], voilà mon raisonnent :

Je me place à la deuxième génération, il y a soit 0 fleur (avec une probabilité 1-p), soit 2 fleurs (avec une probabilité p).
- Si il y a 0 fleur, alors la probabilité qu'il y en ait toujours 0 à la génération n+1 est de 1 :

[tex] P(X_n=0 | X_2=0) = 1 [/tex]

- Si il y a deux fleurs alors pour chacune de ces fleurs, le nombre de descendants n'est plus de [tex]n+1[/tex] mais de [tex]n[/tex]. Or, à chaque génération, les probabilités qu'une fleur ait 0 ou 2 descendants restent identiques.

Donc [tex]U_{n-1}[/tex] = Probabilité qu'il n'y ait plus de fleurs à la génération [tex]n[/tex] ou encore, probabilité qu'une fleur d'une génération [tex]p[/tex] quelconque n'ait plus de descendants à partir de la génération [tex]n+p-1[/tex].

Donc, pour chacune des deux fleurs de la deuxième génération, il y a une probabilité de [tex]U_n[/tex] qu'il n'y ait plus de descendants à la [tex]n+2-1=n+1[/tex] ieme génération. D'où

[tex] P(X_n=0 | X_2=2) = U_n^2 [/tex]

On arrive alors à la formule demandée par la formule des probabilités totales.

J'espère être claire ;)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Problème de probabilité par AROUE

Salut Balustre,

je ne comprends toujours pas bien (en langage diplomatique, cela veut dire "je ne suis pas d'accord avec toi ;-))", malgré des explications on ne peut plus précises sur lesquelles je vais revenir plus tard.

Voici mon raisonnement, simple comme tu vas voir :

A chaque moment n, on a deux événements et deux seulement qui recouvrent toute la situation :

soit  [tex]{X}_{n}=0[/tex] , ou bien [tex]{X}_{n}>\,0[/tex].

A partir de là, je calcule  [tex]Pr\left({X}_{n+1}=0\right)=Pr\left({X}_{n+1}=0/{X}_{n}>0\right)\times Pr\left({X}_{n}>0\right)+Pr\left({X}_{n+1}=0/{X}_{n}=0\right)\times Pr\left({X}_{n}\right)[/tex] puisque mes deux événements forment un système complet (mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs).

Toujours aussi simplement, et souvent par définition ou déduction, je sais que :

[tex]\begin{cases}\Pr(X_n=0)=U_n \\ \Pr(X_n>0)=1-U_n \\ \Pr(X_n+1=0/X_n>0)=1-p \\ \Pr(X_n+1=0/X_n=0)=1 \\ \Pr(X_n+1>0/X_n=0)=0 \\ \Pr(X_n+1>0/X_n>0)=p\end{cases}[/tex].

Le reste se déduit tout seul :

[tex]{U}_{n+1}={U}_{n}+\left(1-p\right)\times \left(1-{U}_{n}\right)[/tex] soit

[tex]{U}_{n+1}=p\times {U}_{n}+\left(1-p\right)[/tex]

Qu'en penses tu, chère amie ?

balustre

Membre

Inscription : 23-09-2010

Messages : 6

Re : Problème de probabilité par AROUE

Voilà où je pense que si situe l'erreur dans le raisonnement :

[tex] P(X_{n+1}=0 | X_n > 0)=1-p[/tex].
Pour moi, on ne peut pas calculer de manière si simple cette probabilité conditionnelle car elle dépend du nombre de fleurs à la génération n.

Prenons la deuxième génération : Il y a 0 fleur ou 2. Donc

[tex] P(X_3=0 | X_2>0) =  P(X_3=0 | X_2=2) = (1-p)^2 [/tex]
En effet, il faut que chacune des deux fleurs n'ait pas de descendants, d'où la mise au carré..

Maintenant, pour une génération n quelconque, le nombres de fleurs possibles est encore plus grand [tex]0,2,  \cdots , 2^n[/tex], et suivant le nombre de fleurs, la probabilité [tex] P(X_{n+1}=0 | X_n > 0)[/tex]  sera égale à  [tex]1, (1-p)^2, \cdots , (1-p)^{2n}[/tex] et le calcul en utilisant la formule des probabilités totales avec comme partition [tex]X_n=0[/tex] ou [tex] X_n >0[/tex] ne me parait plus facilement utilisable.

Concernant "mon" raisonnement, avec quelle partie n'es-tu pas ok ?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Problème de probabilité par AROUE

Re,

Je corrige, modifie et précise.

A chaque moment n > 1, on a deux événements et deux seulement qui recouvrent toute la situation :

soit  [tex]{X}_{n}=0[/tex] , ou bien [tex]{X}_{n}>\,0[/tex].

A partir de là, je calcule  [tex]Pr\left({X}_{n+1}=0\right)=Pr\left({X}_{n+1}=0/{X}_{n}>0\right)\times Pr\left({X}_{n}>0\right)+Pr\left({X}_{n+1}=0/{X}_{n}=0\right)\times Pr\left({X}_{n}=0\right)[/tex] puisque mes deux événements forment un système complet (mutuellement exclusifs et collectivement exhaustifs).

On sait qu'on a :

[tex]\begin{cases}\Pr(X_n=0)=U_n \\ \Pr(X_n>0)=1-U_n \\ \Pr(X_{n+1}=0/X_n>0)=\sum_{k=1}^n\,(1-p)^{2k} \\ \Pr(X_{n+1}=0/X_n=0)=1 \\ \Pr(X_{n+1}>0/X_n=0)=0 \\ \Pr(X_{n+1}>0/X_n>0)=1-\Pr(X_{n+1}=0/X_n>0)\end{cases}[/tex].

(Je reviens ...)

balustre

Membre

Inscription : 23-09-2010

Messages : 6

Re : Problème de probabilité par AROUE

Avec cette correction, le raisonnement me parait bien ok. Par contre, ca me parait un peu plus long que dans mon cas pour faire apparaitre le rapport direct  entre [tex]U_n[/tex] et [tex]U_{n-1}[/tex]...

Malgrè cela, je reste intriguée par le fait que mon raisonnement ne te semble pas correct. Quelle est la partie mise en cause ?

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Problème de probabilité par AROUE

Bonsoir,

On a utilisé ici la formule suivante :
[tex]U_n=P(X_n=0 | X_2=0) \times P(X_2=0) + P(X_n=0 | X_2=2) \times P(X_2=2)[/tex]

Re,

je n'ai pas terminé mon dernier post. En attendant, c'est cette équation qui je remets en cause.

balustre

Membre

Inscription : 23-09-2010

Messages : 6

Re : Problème de probabilité par AROUE

Merci pour la réponse.

edit ; je me suis en effet emmelée les pinceaux avec les indices...

Dans mon raisonnement, à chaque génération n, le système [tex]\{X_n=0, X_n>0\}[/tex] est un système complet d'évènements. En particulier pour [tex]n=1[/tex] (donc la deuxième génération), on obtient alors le système complter [tex]\{X_1=0, X_1=2\}[/tex]... d'où l'équation (en modifiant les indices).

Dernière modification par balustre (27-09-2010 11:13:50)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Problème de probabilité par AROUE

Re,

je comprends en fait que tu regardes la probabilité qu'il n'y ait plus aucune fleur au plus tard à la date n.

C'est un peu le problème de ce problème : quel est le sens de la va X ? Si notre ami ne revient pas nous le dire, nos échanges vont vite se tarir.

Bis bald

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Problème de probabilité par AROUE

Hello Balustre,

voilà, j'ai trouvé comment exprimer la distribution de probabilité de cette p... de fleur de ..., et montrer la relation de récurrence recherchée. Fichtre, ça faisait un petit moment que ça me prenait la tête et que je l'avais au bout des cheveux ! ...

On passe par la fonction génératrice. On se souvient que [tex]L_1(u)=pu^2+q\;\text{avec}\;p+q=1[/tex] indique que la proba d'avoir 2 fleurs= p, et aucune, q.

En particulier, [tex]U_1=\Pr(X_1=0)=q[/tex].

A l'étape suivante, on a : [tex]L_2(u)=p\times (pu^2+q)^2+q=p\times (p^2u^4+2pqu^2+q^2)+q[/tex]

En particulier, on a [tex]U_2=\Pr(X_2=0)=pq^2+q=p\times U_1^2+q[/tex].

Ensuite, on a : [tex]L_3(u)=p\times (p^2(pu^2+q)^4+2pq(pu^2+q)^2+q^2)+q[/tex]

On a encore [tex]U_3=p\times (p^2q^4+2pq^3+q^2)+q=p\times U_2^2+q[/tex].

and so on ...

Finalement, on a [tex]L_n(u)=p\times L_{n-1}\left(L_{n-2}\left(\cdots\left(L_1\left(u\right)\right)\cdots\right)+q[/tex] et le terme en [tex]U_n=p\times U_{n-1}^2+q[/tex] correspond au coefficient du terme en u de degré 0.

Voilà, j'ai dit, et comme le disait un ex-collègue de l'ISUP, c'est non négociable ;-)))

Qu'en penses tu ? Et comprends tu maintenant pourquoi je n'achetais pas ton raisonnement ?

A te lire,

Freddy

Dernière modification par freddy (28-09-2010 18:10:02)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Problème de probabilité par AROUE

Re,

La proba cherchée est bien celle de n'avoir aucune fleur de 1 jusqu'à n, et il faut bien voir le déroulement suivant :

en 1, j'ai 2 ou 0 fleur(s) ;

en 2, j'ai 0, 2 ou 4 fleurs ;

en 3, je peux avoir 0 fleur (2 qui devient 0 et 4 qui devient 0), je peux avoir 2 fleurs ou 4 fleurs (venant de la branche 2 ou 4 fleurs), et enfin, je peux avoir 6 ou 8 fleurs (venant de la branche 4 fleurs).

La fonction génératrice ci dessus en donne, sauf erreur, la loi de proba.

Bis bald