Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Picatshou

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morphisme d'anneaux surjectif

salut  tout le monde , comment allez vous?
j'espère que vous êtes tous en bonne santé ,
dans un exercice d'algèbe il est demander de montrer l'aspect surjectif du morphisme d'anneaux suivant:
f: Z->Z/nZ
    k -> [tex]\bar{k}[/tex]
est ce que je peux montrer la surjectivité en démontrons que Imf=Z/nZ?
merci d'avance pour la réponse.

Roro

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Re : morphisme d'anneaux surjectif

Bonsoir,

Comment as-tu défini l'ensemble Z/nZ ?
Car généralement, on dit justement que c'est l'ensemble [tex]\{\overline k, k\in \mathbb Z\}[/tex], autrement dit que c'est l'image de ton application... (la notation [tex]\overline k[/tex] désignant la classe de congruence de k modulo n).
Sinon, plus généralement, pour démontrer qu'une application [tex]f:E\to F[/tex] est surjective, tu as raison, il faut (on peut) montrer que Im(f) = F...

Roro.

Picatshou

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Re : morphisme d'anneaux surjectif

bonsoir , moi j'ai définit Z/nZ comme suit { [tex]\bar{k}[/tex] ,k [tex]\in Z[/tex] }
donc j'ai trouvé que cet ensemble est le même que Imf ?non?
dans quelle mesure ma réponse est juste?et merci d'avance!:)

Roro

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Re : morphisme d'anneaux surjectif

Re,

Ta réponse est correcte puisque tu as bien "démontré" que pour tout élément de l'ensemble Z/nZ, il existe un antécédent par ton application f...
En fait, c'est tellement une conséquence directe de la définition que demander de le "démontrer" n'est pas vraiment facile à écrire ! L'application que tu as nomée f est souvent appelée surjection "canonique" de Z dans Z/nZ.

Roro.