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AROUET

Invité

problème de probabilité

Bonjour, voici la première question d'un exercice que j'ai résolu par ailleurs (il s'agit d'étudier (Un)) :
Chaque fleur d'une génération donnée peut donner à la génération suivante:
soit deux fleurs avec la probabilité p; soit aucune avec la probabilité 1 - p ; la génération 1 est constituée d'une fleur et les nombres de descendants directs ( 0 ou 2) des fleurs des différentes générations sont mutuellement indépendants.
On note Xn le nombre de fleurs obtenues à la génération n+1
Un = P(Xn = 0)

Montrer que l'on a pout tout n  Un+1 = p.([Un][/2]) + 1 - p

J'ai essayé une récurrence puisqu'on trouve facilement Uo = 1 - p mais la suite pose problème. Je trouve facilement le 1 - p en essayant la formule des probabilités totales mais c'est tout. Ca ne m'a pas gênée pour la suite de l'exercice mais j'ai horreur d'admettre un résultat, pourriez-vous me donner quelques indications ? Merci d'avance !

freddy

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Re : problème de probabilité

Salut,

joli sujet de loi de survie.

On a donc

[tex]U_n=\Pr(X_n=0)=\Pr(X_n=0/X_{n-1}=1)\times \Pr(X_{n-1}=1)+\Pr(X_n=0/X_{n-1}=0)\times \Pr(X_{n-1}=0)[/tex] par la formule des probabilités totales.

Ensuite, il faut faire juste attention au fait que si au tirage précédent, il n'y a pas eu de fleur, soit [tex]X_{n-1}=0[/tex], il est alors certain qu'au tirage suivant, il ne peut pas en avoir. Tu vois ?

Donc on a [tex]\Pr(X_n=0/X_{n-1}=0)=1[/tex] puisque l'événement conditionnel est certain !

Donc tu as de proche en proche :

[tex]\begin{cases}U_1=1-p \\ U_2=(1-p)p+1\times (1-p)=p\times U_1+1-p \\ U_3=(1-p)(1-U_2)+1\times U_2=p\times U_2+1-p \\ ... \\ U_{n+1}=(1-p)\times (1-U_n)+1\times U_n=p\times U_n+1-p\end{cases}[/tex]

Bb

Dernière modification par freddy (23-09-2010 12:45:36)

balustre

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Re : problème de probabilité

Bonjour,

Le raisonnement ci dessus m'a l'air érroné puisque pour la génération "n", le choix n'est plus entre 0 ou 1 fleur comme pour le première génération. On peut en fait avoir [\tex]X_n =0,~X_n=2,X_n=4, \cdots, X_n=2^n[/tex].

Ainsi le raisonnement par récurrence en utilisant un arbre entre la génération "n" et la génération "n+1" devient plus compliqué.
Quelques indications pour obtenir la formule de récurrence : [tex]U_n = p \times U_{n-1}^2 +1-p [/tex] : considérer d'une part

- La branche dans laquelle dès la deuxième génération il n'y a plus de fleur, et ce jusqu'à la (n+1) ieme générations. La probabilité de cette branche est donc de [tex](1-p) \times 1 \times 1 \times \cdots \times 1 = 1-p [/tex]

- D'autre part, la branche dans laquelle il y a deux fleurs à la deuxième génération. Chacune de ces deux fleurs a alors un décendant de moins que la toute première.... et on obtient alors facilement la formule demandée.

(On utilise en fait :
[tex] P(X_n=0) = P(X_n=0 | X_2=0) \times P(X_2 =0) + P(X_n=0 | X_2 = 2) \times P(X_2 = 2) [/tex] )

Dernière modification par balustre (23-09-2010 16:53:04)