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#1 15-09-2010 19:57:29
- sam314
- Membre
- Inscription : 18-03-2010
- Messages : 30
analyse numérique matricielle
Bonjour ;
Voila mon petit probleme
Soit K > 0 . Je considere l endomorphiqme symétrique f : E dans [tex]R^3[/tex] de matrice
[tex]M = \begin{pmatrix}-1 0 0 \\ 0 -1 0 \\ 0 0 K \end{pmatrix}[/tex]
1) geometriquement quel l ensemble des x tels que <x,f(x)> = 0
2) demontrer que pour K suffisamment grand il existe une base orthonormée de E dont les trois vecteurs <x,f(x)> > 0 .
Pour la 1 j ai calculé les vecteurs en resolvant les equations et j ai dit que cétait les vecteurs orthogonaux a f
Pour la 2 j ai dit qu il esxisté forcément une base orthonormée de E grace a Graam Schmidt mais je n arrive pas a voir pourquoi l on a l inégalité . Faut il calculer la base orthonormale et faire le calcul dans la nouvel base ? Et dans ce cas comment determiner la nouvelle base ?
Merci pour l aide .
Merci
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#2 16-09-2010 21:02:43
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : analyse numérique matricielle
Bonsoir sam314,
Concernant la première question, je ne comprend pas du tout ta réponse :
"calculé les vecteurs" : quels vecteurs ?
"en resolvant les equations" : quelles équations ?
"les vecteurs orthogonaux a f" : orthogonaux à un endomorphisme ???
Je vais essayer de te donner une piste pour répondre de façon plus "académique" à cette première question : tu prends un vecteur x dans E et tu l'écris dans la base canonique : x=(a,b,c).
1) Que vaut le vecteur f(x) ?
2) Que vaut le réel <x,f(x)> ?
On verra ensuite pour décrire géométriquement l'ensemble recherché...
Pour ce qui est de la seconde question, elle me parait un peu plus difficile, et de toute façon il faut avoir répondu à la première d'abord...
Si toutefois tu arrives à faire ce qui précède, ou si cela peut t'aider, voici une solution pour une base orthogonale (tu peux la normer si tu le souhaites) qui convient :
e1=(1,1,1)
e2=(-2,1,1)
e3=(0,-1,1)
lorsque K>5.
On en rediscute lorsque tu as avancé...
Bon courage,
Roro.
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#5 16-09-2010 21:31:04
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : analyse numérique matricielle
Parfait, continuons.
Tu peux donc répondre à la première question : l'ensemble des vecteurs x tels que <f(x),x>=0 est l'ensemble des vecteurs x=(a,b,c) tels que [tex]Kc^2=a^2+b^2[/tex].
Géométriquement, ce sous-ensemble de E est un cône (tu peux facilement le visualiser en faisant des "coupes" : l'intersection de ton ensemble avec les plans c=constante est un cercle...).
Passons à la seconde question : première remarque, d'après ce que tu as dû écrire à la première question tu peux facilement voir que pour avoir <f(x),x> > 0 tu dois nécessairement prendre [tex]c\neq 0[/tex] (avec la notation x=(a,b,c)). Et puis que la valeur de c n'est pas véritablement importante car tu pourras jouer sur K... bref essayes de construire une base orthonormée sous la forme suivante
e1=(a,b,1)
e2=(c,d,1)
e3=(e,f,1)
et tu devrais te rapprocher d'une réponse comme celle que je t'ai proposée dans mon premier mail.
Roro.
P.S. Pour Fred : tu as fais la même erreur que moi au début en lisant trop vite la deuxième question... il faut "seulement" que <f(e1),e1> soit strictement positif.
Dernière modification par Roro (16-09-2010 21:36:07)
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#8 17-09-2010 07:41:27
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : analyse numérique matricielle
Bonjour,
Tu as trop d'inconnues... c'est plutôt une bonne nouvelle ! (en fait cela signifie qu'il existe plusieurs solutions).
Tu peux en fixer certaines, par exemple en prenant a=1... et tu peux en fixer d'autre si tu en as encore trop : ton objectif est d'obtenir UNE solution...
Roro.
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