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#1 11-09-2010 10:07:21
- polotos
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- Messages : 4
Fonctions usuelles.
Bonjour j'ai exercice à realisé et je n'ai aucune idée de comment y arriver. Pouriez vous m'aider svp.
1.Le but de cette partie est de derteminer toutes les applications
f:R*+ ---> R qui sont dérivables sur R*+ et qui verifient la relation:
(1): pour tout x,y appartenant a R*+, f(xy)=f(x)+f(y).
(a) On suppose que f est une telle application, prouver alors que:
pour x appartenant a R*+, f'(x)=f'(1)/x
(on pourras fixer y=y0 et driver la relation (1)).
En deduire que f est soit l'application nulle soit une application logarithme.
(b) Montrer que les applications recherchées sont exactement celles trouvées à la question précédente.
2. Le but de cette partie est de derminer toutes les applications
f:R*+ ---> R*+ qui sont derivables sur R*+ et qui verifient la relation:
(2): pour tout x,y appartenant à R*+, f(xy)=f(x)f(y).
(a) On suppose que f est une telle application, prouver alors que fest une application puissance(on pourrat considerer g=ln°f).
(b) Montrer que les applications recherchées sont exactements celles trouvers à la question précédente.
Merci d'avance.
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#2 11-09-2010 10:47:32
- JFF
- Membre
- Inscription : 23-08-2010
- Messages : 28
Re : Fonctions usuelles.
Bonjour,
L'énoncé te prend quand même par la main.
"(a) on pourra fixer y = y0 et dériver la relation (1)"
On pourra ? Faisons-le vite !
Fixe y = y0 et exprime le nombre dérivé de f en x0y0
par sa définition : comme une limite lorsque x tend vers x0,
et voit où ça te mène ;
ensuite, envisage le cas particulier où x0y0 = 1.
Puis : f'(x) est de la forme k/x, d'où la conclusion
(b) Reste à montrer que toutes les fonctions d'epression k.lnx
vérifient (1)
(2) Il suffit d'établir que g vérifie (1), d'où la forme de g, d'où celle de f
Dernière modification par JFF (11-09-2010 10:48:35)
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