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Josué

Invité

Intervalle de confiance et tests!

Bonjour à tous , j'ai un petit soucis de compréhensions enfaite j'aimerais comprendre commen on peut deduire un test à partir d'un intervalle de confiance ? je m 'explique prenons l'exemple d'une loi Normale  [tex]N\left(m;\,{\partial }^{2}\right)[/tex]  et un échantillons  [tex]n[/tex]  et que l'on cherche à étudier la moyenne  [tex]m[/tex]  on a donc un  [tex]I.C\,pour\,m\,:\,\left(\bar{{X}_{n}}\,-\,{a}_{\left(1-\frac{\mathcal{N}}{2}\right)}\times \frac{\partial }{\sqrt{n}}\,;\,\bar{{X}_{n}}+\,{a}_{\left(1-\frac{\mathcal{N}}{2}\right)}\times \frac{\partial }{\sqrt{n}}\right)[/tex]
à partir de cet intervalle de confiance peut on encore proposer un test qui permet de répondre judicieusement aux problème posés ? et si oui qu'elle est la procédure ? faut il poser comme hypothèse de base  [tex]{H}_{0}:\,{m}_{0}=Borne\,\sup érieure\,de\,l'I.C[/tex]  contre  [tex]{H}_{1}:\,{m}_{1}=Borne\,\inf erieure\,de\,l'I.C[/tex]  ????

Je vous en remercie d'avance .

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Salut,

je confirme, tu as un petit souci de compréhension. On parle de deux chose différente, cf. les références ci-dessous.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_statistique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_confiance

Une bonne lecture, et à ta disposition pour des questions complémentaires.

Bis bald

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Bonjour ,merci de ton intervention , enfaite je sais que ces deux choses différentes  l'intervalle de confiance permet de dire que a un certain niveau de confiance on a la valeur recherché qui se trouve dans cet intervalle ! mais mon petit soucis c'est lorsque j'ai lu lors d'un exercice de statistique qu'on demandé après avoir fais l'intervalle de confiance d'émettre des hypothèse sur la valeur recherché ,pour ensuite construire un test et calculer la zone de rejet et la règle de décision ,pour ces derniers je sais faire ,mais c'est émettre l' hypothèse après avoir fais l'intervalle de confiance qui me perturbe car je comprend pas l'utilité !
et ce que sa serait du type  [tex]{H}_{0}:\,{m}_{0}\,\in \,à\,l'Intervalle\,de\,confiance\,[/tex] contre
[tex]{H}_{1}:\,{m}_{1}\,\notin \,à\,l'Intervalle\,de\,confiance\,[/tex]   
?????
Cordialement .

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Re,

je te propose la démarche suivante.

Tu écris avec précision l'exercice de statistique que tu as lu.

Tu donnes les questions, puis les réponses faites.

Je te remercie par avance d'écrire avec clarté, en soignant la forme et le fond, pour éviter des erreurs d'interprétation.

A partir de là, je pourais comprendre ton problème (je l'entrevois, mais j'ai besoin de bien le cerner), et t'expliquerais le lien logique qui te manque et te trouble.

Si tu es OK, à toi de jouer !

A te lire,

Freddy

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Bonjour,

Et merci...
Ok, je vais donc procéder comme tu me l'a demandé.

"On se demande si l'absorption d'un médicament M contre la bronchite aurait un effet sur le rythme cardiaque .Pour cela on mesure les rythmes cardiaques de  n = 126 individus avant et après absorption du médicament  M contre la bronchite.
Les rythmes cardiaques des individus avant absorption du médicament  sont notés  [tex]{X}_{1},.......,{X}_{n}[/tex] .
Les rythmes cardiaques cardiaques des individus après absorption du médicament M sont notés  [tex]{Y}_{1},.......,{Y}_{n}[/tex].
Les rythmes cardiaques observés sont notés  [tex]\left({x}_{i},{y}_{i}\right)\,pour\,i\,=1,....,n\,[/tex]  et on suppose que ce sont les réalisations de n couples de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribués, notés  [tex]\left({X}_{i},{Y}_{i}\right)\,pour\,i\,=1\,,....,n.[/tex]
On note D=X-Y, [tex]{m}_{D}\text{ l'espérance }\text{ et }{{\partial }_{D}}^{2}\text{ la variance de la variable }D. \text{ Les }{d}_{i}={x}_{i}-{y}_{i}[/tex] sont donc des réalisations de variables  [tex]{D}_{i}[/tex]  indépendantes et identiquement distribuées.

Sur ces 126 individus on a observé:
[tex]\bar{x}=75.83\,\,\bar{y}=80.30\,\,,\,\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}{\left({x}_{i}-\,\bar{x}\right)}^{2}=28.786[/tex]
[tex]\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}{\left({y}_{i}-\,\bar{y}\right)}^{2}=27.191\,\,,\,\sum^{n}_{i=1}{1}_{{y}_{i}>{x}_{i}}=88\,\,,\,\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}{d}_{i}=4.4762\,,\,\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}{\left({d}_{i}-\,\bar{d}\right)}^{2}=52.1394[/tex]

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

[EDIT]@yoshi. Ne pas commencer un post direct avec une formule. Ça ne marche pas...

[tex]{m}_{d}[/tex] l'espérance et  [tex]\partial_D^2[/tex]  la variance de la variable D.

je passe certaine question je met l'essentiel pour en venir à mon problème car l'exercice est assez long .

.Proposer un estimateur de  [tex]m_D[/tex] ,étudier ses propriétés asymptotiques etc...
Réponse:
on a  [tex]L\left(D,{m}_{D}\right)=\prod_{i=1}^n f\left(d_i,m_D\right)={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\partial }_{D}}\right)}^{n}{e}^{\frac{1}{2{\partial }^{2}_{D}}\sum_{i=1}^n{\left({d}_{i}-\,{m}_{D}\right)}^{2}}[/tex]
après avoir posé  [tex]\ln L\left(D,{m}_{D}\right)\,[/tex] et dérivé par rapport à  [tex]{m}_{D}[/tex]  je trouve comme estimateur de [tex]\quad \text{ -----à compléter, ou supprimer SVP !----- }\quad[/tex],  [tex]{\widehat{m}}_{D}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}{d}_{i}[/tex]

.Proposer un estimateur de  [tex]{\partial }^{2}_{D}[/tex] .
Réponse : je trouve  [tex]{\widehat{\partial }}^{2}_{D}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}{\left({d}_{i}-\,{m}_{d}\right)}^{2}[/tex]

.Donner un intervalle de confiance théorique pour  [tex]{m}_{D}[/tex] au niveau de confiance [tex]1-\mathcal{N}\in \,]0,1[/tex]
Réponse:  [tex]{m}_{D}:\,\,\left[{\bar{D}}_{n}\,-\,\frac{{\partial }_{D}}{\sqrt{n}}\times a\,;\,{\bar{D}}_{n}\,-\,\frac{{\partial }_{D}}{\sqrt{n}}\times a\right][/tex]

.En déduire un I.C pour  [tex]{m}_{D}[/tex] calculé au niveau de confiance 90%,95%,99%.
Réponse: I.C 90% [3.41 ; 5.53] ; I.C 95%[3.21; 5.73] ; I.C 99%[2.97; 5.97]

et la Fameuse question "quelle sont les hypothèses de test sur  [tex]{m}_{D}[/tex] permettant de répondre au problème posé ?
Donner la statistique de test du test associé aux hypothèse de la question précédente  !
Aprés les questions suivantes sont de definir la zone de rejet et la régle de décision et d'autre question mais pour les suivantes je sais faire ca va mais c'est cette question que je trouve un peu deroutante je sais pas poser le test d'hypothèse , je me dis que peut etre qu'en prenant une valeur situé dans l'I.C 99%  comme hypothése nule sa devrait etre bon mais qu'elle valeur ? dois je faire la moyenne du  genre  [tex]{m}_{0}=\frac{borne\,\sup \,+borne\,\inf }{2}[/tex]  ???? contre une hypothése alternative  [tex]{H}_{1}:\,{m}_{1}#\,{m}_{0}[/tex]  ???

Cordialement.

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

bon il y a un soucis avec le latex c'est dommage !

[Edit]@ Yoshi.
J'ai déjà corrigé 1er ton post de réponse à freddy.
Je vais voir si je peux faire de même avec celui-là.
aucune raison que ça ne marche pas !

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Merci beaucoup yoshi c'est vraiment gentil !

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Salut,

c 'est dommage, j'aurais bien aimé prendre connaissance de toutes les questions du sujet (pas besoin de me donner les réponses ...).

Pour ton problème, je pense que c'est simple problème de lecture. On te demande de rappeler les conditions qui te permettent de définir ton I. C comme tu l'as fait. C'est une hypothèse de travail central en statistique mathématique.

Pour savoir si cette hypothèse est bonne, on dispose d'un test (que tu n'as pas à inventer mais que tu dois connaitre) qui te permet de vérifier que les éléments à ta disposition ne te permettent pas de rejeter cette hypothèse de travail.

Comme c'est le cœur de la théorie de l'estimation statistique, je voudrais que tu cogites bien et que tu découvres ce qu'on veut te faire calculer. C'est une des bases du métier de statisticien et un acquis conquis est supérieur à un acquis appris !

Normalement, tu as dû le voir en cours. Tu peux me faire des propositions, je t'y répondrai, et ne va pas chercher midi à 14 h.

A plus

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

si tu le souhaite je pourrais te scaner le sujet et te l'envoyé ! pour répondre à ta question la seule idée qui me vienne à l'esprit c'est de posé l hypothèse suivante :  [tex]{H}_{0}:\,{m}_{0}\,\in \,à\,l'Intervalle\,de\,confiance\,[/tex]  contre  [tex]{H}_{1}:\,{m}_{1}\notin \,à\,l''Intervalle\,de\,confiance[/tex] 
ca peut paraitre simple d'esprit mais je vois rien d'autre enfaite !

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Salut,

OK pour le scan.

Quand tu écris ta fonction de vraisemblance L, tu as supposé que la somme des va suivaient une certaine loi de probabilité.

C'est ça qu'il faut que tu vérifies par un test du CHI2 pour voir si rien ne s'oppose à l'usage de cette loi à partir de laquelle tu as fabriqué tes estimateurs  pour l'espérance et la variance et ton I.C

Comportement asymptotique : as tu vérifié que tes estimateurs sont bien convergents et sans biais ?

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Bonjour , pour le test du chi2 il faudrait que je suppose que  [tex]{m}_{D}[/tex]
soit inconnu ? si j'en déduis ce que je vais trouver lors du calcul de la zone de rejet !
Pour l'estimateur  [tex]{\widehat{m}}_{D}[/tex]  oui je le trouve sans biais est convergent :
[tex]E\left({\widehat{m}}_{D}\right)=E\left(\frac{1}{n}\times \sum^{n}_{i=1}{D}_{i}\right)=E\left(D\right)={m}_{D}[/tex]
[tex]V\left({\widehat{m}}_{D}\right)=\frac{V\left(D\right)}{n}=\frac{{\partial }^{2}_{D}}{n}\,\,\,\,\,\,,\,Lim\,V\left({\widehat{m}}_{D}\right)=0\,lorsque\,n\,tend\,vers\,+\,\inf ini[/tex]

pour l'estimateur   [tex]{\widehat{\partial }}^{2}_{D}\,=\,\frac{1}{n}\times \sum^{n}_{i=1}{\left({D}_{i}-\,{m}_{D}\right)}^{2},\,\,E\left({\widehat{\partial }}^{2}_{D}\right)=\frac{{\partial }^{2}_{D}}{n}\times E\left(\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({D}_{i}-\,{m}_{D}\right)}^{2}}{{\partial }^{2}_{D}}\right)={\partial }^{2}_{D}\,,\,V\left({\widehat{\partial }}^{2}_{D}\right)={\partial }^{4}_{D}\times \frac{2}{n}[/tex]

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Re,

ton hypothèse centrale est que la somme de tes va suit bien une loi normale ... Puisque X et Y sont iid, d'espérance et de variance à fixer (regarde le résultat des calculs fournit dans l'énoncé), alors tu soumets tout ce petit monde à ce test (avec règle de décision à l'appui : région de rejet ...).

Tu vois mieux ?

Reviens avec tes résultats si tu veux.

PS : Merci à Yoshi pour Latex, sans quoi on aurait bien galéré.

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Bonjour, bon bon .... je vais tacher d'exposé mon idée en espérant qu'elle ai du sens et que ca soit juste !
je pose  [tex]{H}_{0}:\,{m}_{D}=4.47\,\,\,\left(car\,{m}_{D}=\frac{1}{n}\times \sum^{n}_{i=1}{D}_{i}\right)[/tex]
contre  [tex]{H}_{1}:\,{m}_{D}#\,4.47\,[/tex]

Sachant que  [tex]{m}_{D}[/tex]  est inconnue le meilleur estimateur pour  [tex]{\partial }^{2}_{D}[/tex] est
[tex]{s}^{2}=\frac{1}{n-1}\times \sum^{n}_{i=1}\left({D}_{i}-\bar{D}\right)[/tex]
d'où D sous la loi de H : [tex]\frac{\bar{D}-{m}_{D}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\,--------->\,{T}_{n-1}[/tex]
avec T une loi de student à (n-1) degrés de liberté !
je peux donc posé alors ma zone de rejet sous la forme suivante : [tex]R=\left\{\,\left({d}_{1},.......,{d}_{n}\right)\,/\,\frac{\bar{D}-{m}_{D}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\geq C\right.[/tex]
et ce que c'est correct si je procède de cette manière ?
Cordialement.

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Je viens tout juste de penser à quelque chose , D=X-Y
je peux donc écrire que  [tex]X\,-\,Y\,----->\,N\left({m}_{x}-{m}_{y};\,\frac{1}{n}\times \sqrt{{\partial }^{2}_{x}+\,{\partial }^{2}_{y}}\right)[/tex]
et poser comme hypothèse pour ainsi voire la différence entre X et Y les hypothèse suivantes :
[tex]{H}_{0}:{m}_{x}={m}_{y}\,\,\,contre\,{H}_{1}:\,{m}_{x}different\,de\,{m}_{y}[/tex]

et ma statistique de test est  [tex]\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\frac{\sqrt{{\partial }^{2}_{X}+{\partial }^{2}_{Y}}}{N}}------>N\,\left(0;1\right)[/tex]

suis je sur le droit chemin ? (rire)

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Re,

mis à part que ton quotient suit une loi de Student et pas une normale centré réduite, je suis OK !

Tu vois quand tu te mets à réfléchir ...

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Merci Freddy ,oui je vois mon erreur c'est effectivement une loi de student à n-1 degrés de liberté.
Bon courage.

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Bon courage à toi.

Je n'ai pas vérifié, regarde bien tes degrés de libertés.

Je n'ai pas vu dans l'énoncé que X et Y suivaient des lois normales. Un oubli ?

Sinon, bien évidement, on veut savoir si le médoc a un effet ou pas.

Je reste preneur du sujet scanné. Tu peux passer par Fred ou Yoshi ou le mettre en lien ici, ou m'écrire, je te renverrai mon adresse mail.

Bb

josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Bonjour oui en effet je pense pas que cela soit le bon degré de liberté car deux variable ! de plus après je me suis dis que lorsque m l'espérance est inconnu le meilleur estimateur est   [tex]{S}^{2}=\,\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({X}_{i}\,-\,\bar{X}\right)}^{2}}{n}[/tex]  mais dans notre cas on a deux variables je pense que l'on doit écrire   [tex]{{S}_{}}^{2}=\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({X}_{i}\,-\,\bar{X}\right)}^{2}+\,\sum^{n}_{i=1}{\left({Y}_{i}\,-\,\bar{Y}\right)}^{2}}{n+n\,-2}[/tex]

Donc on a  [tex]D=\,X\,-\,Y\,------------>N\left({m}_{x}-\,{m}_{y};\,\frac{1}{\sqrt{n}}\times \left({\partial }_{x}+{\partial }_{y}\right)\right)[/tex]

Soit en substituant  [tex]{S}^{2}={\partial }^{2}_{x}\,+\,{\partial }^{2}_{y}[/tex]

On obtient :  [tex]\frac{\bar{X}-\,\bar{Y}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\,---------->{T}_{n+n\,-\,2}[/tex]

Quand pense tu ?
Pour le sujet il me faut ton adresse email commen puis je l'obtenir ?
Cordialement.

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Aïe ...

Combien as tu de valeur de D ?

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

Je comprend pas c'est finalement pas la bonne démarche ? j'ai tout faux là ?
et bien D=X-Y soit   [tex]\bar{D}=\,\bar{X}\,-\,\bar{Y}[/tex] , je peux donc pas écrire ca alors :
[tex]\frac{\bar{D}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\,------->{T}_{n+n\,-\,2}[/tex]

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

es tu d'accord que le meilleur estimateur pour la variance  [tex]{\partial }^{2}[/tex] lorsqu'il est inconnu pour une variable X  est  [tex]{S}^{2}=\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({X}_{i}-\,\bar{X}\right)}^{2}}{n-1}[/tex] ?
Maintenant pour mon cas qui est D=X-Y le meilleur estimateur de la variance est
[tex]{S}^{2}=\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({X}_{i}-\bar{X}\right)}^{2}+\sum^{n}_{i=1}{\left({Y}_{i}-\bar{Y}\right)}^{2}}{n+n\,-\,2}\,ou\,\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({X}_{i}-\,\bar{X}\right)}^{2}+\sum^{n}_{i=1}{\left({Y}_{i}-\bar{Y}\right)}^{2}}{n-2}[/tex]  ???? car la je suis perdu .
et au cas ou le raisonnement est juste es tu d'accord pour écrire ca :
[tex]\bar{D}=\bar{X}-\bar{Y};\,\,\,\,\,\,\frac{\bar{D}}{\frac{S}{\sqrt{n}}}----->{T}_{n-2}[/tex]

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

Salut,

tu m'effraies, mon ami. Tu as exactement n observations (126 personnes testées) du couple (X, Y).

J'ai un peu de travail, je reviens ce soir.

MAIS ton estimateur de la variance me fait peur : une moyenne reste une moyenne, avec n observations ... non ?

Josué

Invité

Re : Intervalle de confiance et tests!

je t'effraie désolé .....
Bon je reprend depuis le début pour se remettre les idées aux claires car la on se comprend pas visiblement !
Je pars du test suivant  [tex]{H}_{0}:\,{m}_{x}={m}_{y}\,contre\,{H}_{1}:\,{m}_{x}\,different\,de\,{m}_{y}[/tex]
On a posé au debut de l'exercice D=X-Y et l'on m'a demande de calculé l'estimateur de la moyenne  [tex]{m}_{D}[/tex]  et l'estimateur de la variance  [tex]{\partial }^{2}_{D}[/tex]
je trouve pour  [tex]{\widehat{\partial }}^{2}_{D}=\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({D}_{i}-\,\bar{D}\right)}^{2}}{n}[/tex]

J'ai  [tex]\,\,\,\bar{X}-\bar{Y}---->N\left({m}_{x}-{m}_{y};\,\frac{{\partial }_{x}+\,{\partial }_{y}}{\sqrt{n}}\right)\,\,\,soit\,\,\,\,\,\,\,\,\,\bar{D}--->N\left({m}_{D};\,\frac{{\partial }_{D}}{\sqrt{n}}\right)[/tex]

le meilleur estimateur pour  [tex]{\partial }^{2}_{D}\,\,et\,\,{S}^{2}=\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({D}_{i}-\bar{D}\right)}^{2}}{n-1}[/tex]
(cela dit au passage  [tex]\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({D}_{i}-\bar{D}\right)}^{2}}{n-1}=\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({X}_{i}-\bar{X}\right)}^{2}+\sum^{n}_{i=1}{\left({Y}_{i}-\bar{Y}\right)}^{2}}{n-2}[/tex]  )

donc pour notre cas :  [tex]\frac{\bar{D}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}----->{T}_{n-1}[/tex]

c'est donc une loi de student à (n-1) degré de liberté !!!!

freddy

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Re : Intervalle de confiance et tests!

cela dit au passage  [tex]\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({D}_{i}-\bar{D}\right)}^{2}}{n-1}=\frac{\sum^{n}_{i=1}{\left({X}_{i}-\bar{X}\right)}^{2}+\sum^{n}_{i=1}{\left({Y}_{i}-\bar{Y}\right)}^{2}}{n-2}[/tex]  )

JE ME DEMANDE COMMENT TU FAIS ?

Salut,

je t'ai envoyé une adresse où tu peux me faire suivre ton sujet.

Sinon, reprenons au strict plan théorique. Tu as deux séries X et Y , iid (de lois normales je présume) et tu veux savoir si elles suivent la même loi avec les mêmes paramètres (=> le médoc laisse laisse le rythme cardiaque inchangé).

Donc tu testes [tex]H_0=\begin{cases}\overline{X} = \overline{Y} \\ V(X)=V(Y)\end{cases}[/tex]

contre  [tex]H_1=\begin{cases}\overline{X} \ne \overline{Y} \\ V(X)\ne V(Y)\end{cases}[/tex]

La première étape consiste à vérifier si les variances sont égales (Fisher-Snédécor).

Si oui, tu testes les moyennes par un student à 2(n-1) degrés de liberté.

Si non, tu ne peux pas construire statistique qui suit une Student.

A priori et a vu de nez, le médoc ne laisse pas la palpitant insensible, (70 % des individus ont vu leur nombre de ppm augmenter, la moyenne est de + 4 ppm après / avant et quand le ppm augmente, c'est que le corps souffre !) mais à valider au plan statistique !

A te lire.

PS : si tu veux le vendre, faudra passer par Roselyne B. :-)))

Dernière modification par freddy (10-09-2010 16:32:35)