Forum de mathématiques - Bibm@th.net

laurent2403

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programmation lineaire

bonjour tout le monde...
  voila mon soucis je n'arrive pas a mettre sous forme de systeme cet enonce:
   un atelier fabrique 3 articles: A:35 objets par heures
                                             B:45 objets  par heures
                                              C:20 objets par heures
            cette fabriquation utilise une machine dispo 200 h par mois
         le benef unitaire pour A:60frs pour B:40frs pour C:80frs
  ces objets sont vendus en totalite a des grossistes , on ne peut ecouler par mois, plus de 4900 A, 5400B , 2000C.
  chaques objets doit etre verifie avant sa commercialisation, une equipe de 3 techniciens est charge de cette mission,chaque technicien travaille 170 heures par mois. la verif de A :prend 4mn , de B prend 3mn de C ,2 mn.
comment mettre ca sous forme de systeme d'inequation ,les calculs ne sont pas un pbs mais j'ai du mal a mettre ca sous forme d'un systeme . est ce que la fonction economique Z resemblerait a 60x+40y+80z
voila , merci d'avance ...  laurent

yoshi

Modo Ferox

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Re : programmation lineaire

Bonjour,

Et bienvenue sur Bibm@th...
Un peu touffu, voire confus cet énoncé...
Que vient faire le bénéfice horaire sur chaque pièce là-dedans ? Je ne vois aucune question portant sur cet élément...

@+

freddy

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Re : programmation lineaire

Salut,

oui, un peu touffu, mais je pense avoir pigé. La question est de savoir comment gagner le plus (max du bénéfice représenté par la fonction Z=60A+40B+80C) sachant que :

toute la production est vendue (c'est rassurant) ;

les quantités produites ne peuvent excéder :

[tex]\begin{cases} A \leq 4.900 \\ B \leq 5.400 \\ C \leq 2.000 \end{cases}[/tex]

La fonction de production horaire et le temps de vérification sont connues. Il faut que la production de (A, B, C) n'excède pas les temps max. disponible, savoir 3*170 h par mois pour la vérification et 200 h mensuelles pour la fabrication, ce qui s'écrit :

[tex] 4A+3B+2C \leq 3\times 170\times 60[/tex] pour l'exprimer en minutes.

[tex]\frac{A}{35}+\frac{B}{45}+\frac{C}{20} \leq 200[/tex] exprimé en heures.

Donc le programme d'optimisation linéaire sous contrainte à résoudre est :

[tex] \underset{A, B, C}{Max}\;Z=60A+40B+80C[/tex]

sous les contraintes :

[tex]\begin{cases} A \leq 4.900 \\ B \leq 5.400 \\ C \leq 2.000 \\ 4A+3B+2C \leq 30.600 \\ \frac{A}{35}+\frac{B}{45}+\frac{C}{20} \leq 200 \\ A \geq 0 \\ B \geq 0 \\ C \geq 0 \end{cases}[/tex]

Je pressens que la quantité de C sera saturée, car la plus rentable et la moins coûteuse en temps à vérifier et à fabriquer (c'est curieux d'ailleurs ...).

Bon courage et reviens pour la solution, on te dira si c'est OK.

Bb

Dernière modification par freddy (03-09-2010 21:38:39)

freddy

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Re : programmation lineaire

Re,

j'ai la solution et c'est quelque peu surprenant ...

Bb

freddy

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Re : programmation lineaire

Salut Laurent,

je répons en public à ta demande privée d'explication, car ça peut servir à d'autres bibmatheux.

Ta fonction économique à maximiser (car c'est un profit) est bien égale à la somme des produits du profit unitaire de chaque produit fabriqué et vendu par la quantité fabriquée et vendue. Si C=1.000, tu auras fait gagner à ta petite entreprise 80*1000 = 80,000 €.

MAIS tu ne peux pas produire et vendre en quantité infinie !!!

C'est pourquoi tu as une contrainte de production maximale pour chacun des trois produits. En revanche, j'ai aussi imposé une contrainte naturelle de production positive ou nulle, car un programme informatique de résolution (type solveur sur Excel) risque de chercher des solutions en prenant des production négative !... (c'est ce qui m'est arrivé hier soir :-))), ce qui est impossible.

Produire des quantités négatives = détruire du stock physique. Il n'y a qu'en finance que je peux vendre des biens que je n'ai pas encore achetés.

Ensuite, on introduit la contrainte du temps de production. Dans ton sujet, tout revient à considérer l'activité par mois. Donc on a 200 heures de temps machine à affecter aux produits A, B et C et il faut que les heures de fabrication de ces produits n'excèdent pas la durée de temps machine disponible.

Enfin, on a une autre contrainte de temps à travers les délais de vérification et le temps qu'on peut y consacrer.

On a 3 personnes qui peuvent travailler au maximum 170 heures par mois pour faire le travail de vérification sur des machines. Donc le temps total de vérification de la production ne peut excéder 3*170 heures.

Dernier point : en fait, le produit C est très rentable, peu coûteux à vérifier mais long à produire. Donc il n'y a pas de paradoxe.

Est ce plus clair ?

PS : souvent, on a une fonction de profit = prix de vente*Q - (coût de fabrication)*Q à maximiser sous des contraintes de volumes, de marché ou techniques.  C'est un poil plus compliqué.

Dernière modification par freddy (04-09-2010 09:32:13)

freddy

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Re : programmation lineaire

Salut !

message bien reçu.

As tu trouvé les valeurs de la solution ? Normalement tu dois avoir C = 0 et n'oublie pas que A et B doivent être des nombre entiers.

"Force et Honneur"

Bb

Dernière modification par freddy (05-09-2010 14:23:32)