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#1 22-08-2010 16:24:30
Polynomes à dégrés échelonnés(parties familles libres)
Bonjour,
*C'est peut être bête mais il se trouve que j'ai besoin de coup de pouce sur ce coup.
je suis sur quelqu'un a déjà vu cet énoncé il s'agit de l'execice5 des familles libres-liées-génératrice-bases de la partie algèbre du site.
je n'arrive pas à comprendre le corrigé. quelqu'un pourrait-il me donner un peu plus de détails sur la solution.
voici le lien http://www.bibmath.net/exercices/bde/al … reseno.pdf de la page de l'exercice. c'est le 5.
Merci!!!
Dernière modification par tsaloum (22-08-2010 16:25:32)
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#2 22-08-2010 21:45:06
- Fred
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Re : Polynomes à dégrés échelonnés(parties familles libres)
Bonjour,
Tu supposes que ta famille est liée et que tu as une relation de liaison du type
[tex]a_1 P_1+\dots+a_n P_n=0[/tex], où tous les coefficients ne sont pas nuls.
Tu regardes le coefficient [tex]a_k[/tex] d'indice le plus grand possible qui est non-nul. Autrement dit,
on a en fait
[tex]a_1P_1+\dots+a_k P_k=0[/tex]
Maintenant, on utilise la propriété suivante du degré de deux polynômes :
si P et Q sont deux polynômes de degrés différents, alors
[tex]deg(P+Q)=\max\big(\deg(P),\deg(Q)\big)[/tex]
Ainsi, tu sais que
[tex]\deg(a_1P_1+\dots+a_kP_k)=\deg(P_k)>0[/tex],
ce qui contredit que [tex]a_1P_1+\dots+a_kP_k[/tex] est le polynôme nul.
Fred.
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#3 23-08-2010 13:22:52
Re : Polynomes à dégrés échelonnés(parties familles libres)
Bonjour et Merci Fred;
j'ai eu une idée hier en raisonnant par absurdité, verifie si c'est Vrai.
posons [tex]{a}_{1}{P}_{1}+..................+{a}_{n-1}{P}_{n-1}+{a}_{n}{P}_{n}=0[/tex] .
Supposons [tex]{a}_{n}different\,de\,0[/tex]
donc [tex]{P}_{n}=\frac{-1}{{a}_{n}}\left({a}_{1}{P}_{1}+..................+{a}_{n-1}{P}_{n-1}\right)[/tex] .
ce qui veut dire que [tex]deg\left({P}_{n}\right)=deg\left(\frac{-{a}_{1}}{{a}_{n}}{P}_{1}+..................+\frac{-{a}_{n-1}}{{a}_{n}}{P}_{n-1}\right)=deg\left({P}_{n-1}\right)[/tex]
ce qui absurde car par hypothèse [tex]deg\left({P}_{n}\right)>deg\left({P}_{n-1}\right)[/tex] .
d'où [tex]{a}_{n}=0.[/tex] .
en utilisant la même procédé pour les k<n, on aura [tex]{a}_{1}={a}_{2}=..........................={a}_{n}=0[/tex] .
Est ce correcte!!!!!
Merci
Dernière modification par tsaloum (23-08-2010 13:25:36)
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#4 23-08-2010 15:50:42
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 348
Re : Polynomes à dégrés échelonnés(parties familles libres)
Bonjour,
L'équation suivante est incorrecte (c'est la deuxième égalité qui n'est pas correcte) :
[tex]deg\left({P}_{n}\right)=deg\left(\frac{-{a}_{1}}{{a}_{n}}{P}_{1}+..................+\frac{-{a}_{n-1}}{{a}_{n}}{P}_{n-1}\right)=deg\left({P}_{n-1}\right)[/tex]
En effet, rien ne te dit que le degré de
[tex]\left(\frac{-{a}_{1}}{{a}_{n}}{P}_{1}+..................+\frac{-{a}_{n-1}}{{a}_{n}}{P}_{n-1}\right)[/tex]
vaut le degré de [tex]P_{n-1}[/tex]
(imagine par exemple que tous les [tex]a_k,\ k<n[/tex] sont nuls.)
En revanche, ce qui est vrai est
[tex]deg\left({P}_{n}\right)=deg\left(\frac{-{a}_{1}}{{a}_{n}}{P}_{1}+..................+\frac{-{a}_{n-1}}{{a}_{n}}{P}_{n-1}\right)\leq deg\left({P}_{n-1}\right)[/tex]
et on peut conclure comme tu le fais.
Fred.
c
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