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#1 10-08-2010 15:30:13
- kelyosss
- Invité
problème équation différentielle
Bonjour à tous, je vous expose mon problème
Je suis en pleine revision pour mes rattrapages de fin août et j'arrive pas à trouver une solution qu'on a dans le cours
y'(t) = y-t²+1
et j'arrive pas à trouver à savoir d'où vient le (t+1)² qu'on est censé avoir car la solution est [tex]y(t)=(t+1)² -
\frac{1}{2} e^t[/tex]
Merci !!
#2 10-08-2010 17:07:00
Re : problème équation différentielle
Bonjour,
Pour résoudre une équation différentielle linéaire, on procède en deux temps :
1) On détermine l'ensemble des solutions de l'équation sans second membre. Ici : y'(t) = y(t).
2) On détermine UNE solution particulière de l'équation avec second membre. Ici : y'(t) = y(t) - t^2 + 1.
L'ensemble des solutions de l'équation avec second membre est la somme des deux.
Le (t+1)^2 de ton équation vient de l'étape 1. Comme le second membre est un polynôme de degré 2, on cherche une solution particulière sous forme d'un polynôme de degré 2.
A+
Hors ligne
#3 10-08-2010 17:29:18
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 401
Re : problème équation différentielle
Re,
1. D'abord, je ne vois pas pourquoi c'est LA solution...
Si [tex]\forall k\;\in\;\mathbb{R},\;y(t)=(1+t)^2-ke^x[/tex], alors [tex]y'(t)=2+2t-ke^x[/tex]
Et [tex]y'(t)-y(t)=2+2t-ke^x-(1+t)^2+ke^x=1-t^2[/tex]
Donc n'importe quel k convient... pourquoi 1/2 ? Y aurait-il une donnée supplémentaire que tu n'as pas signalée ?
2. Tu dois d'abord résoudre une équation différentielle sans second membre, y'-y=0
Ce qui t'amène à [tex]y(t) = ke^t[/tex]
3. Tu t'occupe ensuite du 2nd membre 1-t², et tu cherches une solution particulière.
La présence d'un carré t'amène à chercher f telle que f'(t)-f(t) = 1 - t² (1) et f(t) =at²+bt+c.
Tu remplaces dans (1) et tu identifies, tu tombes sur a = 1,b=2 et c=1, sot f(t)=t²+2t+1=(t+1)²
@+
[EDIT] Pris de vitesse par thadrien...
Pas sur la plage, thadrien ?
Hors ligne
#4 10-08-2010 21:01:28
- kelyosss
- Invité
Re : problème équation différentielle
J'avais trouvé la solution cet aprem midi merci,
Par contre le 1/2, je sais pas vraiment et je me suis penché là dessus aussi, c'est écrit sur mon cours ptet une erreur...
Merci beaucoup
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