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constantin

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topologie

Salut s"il vous plait j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre à partir de la question 3 .

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                    Exercice

Soit E  un espace topologique et R une relation d’équivalence sur E.
     Montrer que:

1) si E/R est séparé au sens de Hausdoff , alors le graphe G de R est fermé dans E×E.

2) Si le graphe G de R est fermé dans E×E et si la surjection canonique f est une application ouverte,
alors E/R est séparé.

3)Soit E = R , R la relation d’équivalence définie par:(xRy) <=> x-y est un nombre rationnel

i)Déterminer E/R en extension.

ii) Montrer que E/R est un espace topologique grossier.

iii) Déduire que E séparé n’implique pas E/R séparé.

                                               
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            Merci d'avance.