Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 17-07-2010 11:23:33
- debmaths
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Dérivée et ln
Je me lance.
La formule est en fait:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1+\left(1+{x}^{2}{\ln }^{2}x\right)}}[/tex]
J'avais suivi exactement la méthode qiue vous me signalez mais il me semble que le résultat est bien trop compliqué:
Je pose [tex]u\,=\,{\left(x\ln \,x\right)}^{2}\,\,\,\,\,donc\,u'=2\left(x\ln x\right)\left(\ln x+1\right)[/tex]
[tex]et\,v=\sqrt{1+u}[/tex] donc [tex]v'=\frac{u'}{2v}=\frac{\left(x\ln x\right)\left(\ln x+1\right)}{v}[/tex]
f(x)=[tex]\frac{1}{v}[/tex] dérivée f'(x)=[tex]\frac{-v'}{{v}^{2}}[/tex]=[tex]-\left(x\ln x\right)\left(\ln x+1\right){\left[1+{\left(x\ln x\right)}^{2}\right]}^{-3/2}[/tex]
Cela me semble très très lourd
Merci de votre coopérarion
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#2 17-07-2010 12:17:10
- yoshi
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Re : Dérivée et ln
Re,
Beau lancement ! Essai réussi...
Euh... [tex]\frac{1}{\sqrt{1+\left(1+{x}^{2}{\ln }^{2}x\right)}} \text{ ou }\frac{1}{\sqrt{1+x^2\ln ^2x}}[/tex] ? Parce que tes parenthèses ne servent à rien et dans ce cas remplace 1 par 2...
J'opte pour ma formulation.
Là, on doit chercher [tex]\left({1 \over \sqrt u}\right)' = \big(u^{-\frac 1 2}\big)'=-\frac 1 2 u'u^{-\frac 3 2}=-\frac{u'}{2\sqrt{u^3}}[/tex] avec [tex]u=1 +(x\ln x)^2[/tex]
Là, comme ça, même si le résultat n'était pas plus simple, on y arriverait plus vite avec moins de calculs : c'est mieux parce que moins de temps + moins de calculs = moins de gaffes possibles...
[tex]u'=(1 +(x\ln x)^2)'= ((x\ln x)^2)'=2(\ln x+ 1)(x\ln x)=2x\ln x(\ln x +1)[/tex]
Et il n'y a plus qu'à rempacer...
Je ne pense pas avoir commis d'erreurs, mais on ne sait jamais...
Ça te va ?
@+
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#3 17-07-2010 13:00:48
- 1515debmaths
- Invité
Re : Dérivée et ln
Désolé mais pas l'habitude de Latex. La formule origine est:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}{\ln }^{2}x}}[/tex]
Par contre la suite est bonne.
Et je tombe sur le même résultat que vous.
Donc comme j'ai x > 0 , f'(x) a le signe du numérateur soit -(xlnx)(1+lnx)
La dérivée est positive dans l'intervalle [tex]\left[{e}^{-1},0\right][/tex]
Je pense être arrivé au bout de nos peines.
Merci pour tout. Bon eek-end
#5 19-07-2010 11:05:14
- freddy
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Re : Dérivée et ln
Salut Jeune homme,
aucun pb pour ton grand âge, il y en a un qui doit avoir 16 ans de plus que toi !!! (l'ami nerosson, l'homme le plus têtu au monde ... , esprit brillant tant que tu ne l'emmênes pas sur des chemins escarpés de l'algèbre, grand bavard devant l'Eternel, faux modeste et vrai homme de la montagne ... ) Il est né en 1924, si je me souviens bien ...
Par contre, je ne suis pas sûr qu'il sache encore manipuler dérivée et Latex ... (pure provocation gratuite de ma part, bien entendu).
Il y en a un qui est un peu plus jeune que toi, l'ami yoshi, ferox modox, jeune retraité éducation nationale (maths), 63 balais aux prunes je pense, toujours aussi vif, prêt à corriger l'impudent et le mal élevé, mais bienveillant au fond, toujours prêt à aider, expliquer et rendre service.
Perso, j'aurais pu être un fils de nerosson (que Dieu m'en garde) ... s'il avait su trouver femme capable de le supporter plus de 50 ans (genre sourde, muette et aveugle ... arf, arf, arf ...)
Bb
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#6 21-07-2010 08:53:39
- debmaths
- Membre
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Re : Dérivée et ln
Bonjour,
Cela fait plaisir de constater qu'il y a encore quelques barjos, enfin c'est ce que pensent beaucoup de gens qui nous verraient bien en maison de retraite.
Je profite de l'occasion de balancer 2 petits problèmes que je n'arrive pas à résoudre:
1 --
Montrer que pour tout réel strictement positif, en étudiant sur [tex]\left[0;+\infty \right][/tex] la fonction:
[tex]f\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)-\ln x-\frac{1}{x+1}[/tex]
on ait ln[tex]\frac{x+1}{x}>\frac{1}{x+1}[/tex]
Cela devrait être simple mais je ne trouve pas. il ne faut pas employer le théorème des accroissements finis
2--
Appliquer la règle de l'Hospital ( j'ai de gros problèmes avec lui !! ) pour calculer la limite quand x tend [tex]{0}^{+}[/tex] de:[tex]v\left(x\right)=\frac{1}{{x}^{5}}\left(x+\frac{{x}^{3}}{3}-\tan \,x\right)[/tex]
Voilà où j'en suis:
[tex]v\left(x\right)=\frac{1}{{x}^{2}}\left(\frac{x-\tan \,x}{{x}^{3}}+\frac{1}{3}\right)[/tex]
Or[tex]\frac{x\,-\,\tan \,x}{{x}^{3}}[/tex] tend vers -1/3 quand x tend vers 0.
Je me retrouve donc avec 0 x 0 !!!!!!!!!!!!!
Merci encore pour votre aide .
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#7 21-07-2010 09:50:01
- yoshi
- Modo Ferox
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Re : Dérivée et ln
Re,
Normal, "qu'importe le flacon pourvu qu'on ait l'ivresse" !
Bon, mais t'as de nouveau oublié la règle : 1 sujet = une discussion...
Moi, je ferais comme ça :
1. [tex]f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{x(x+1)-(x+1)^2+x}{x(x+1)^2}=-\frac{1}{x(x+1)^2}[/tex]
Cette dérivée est négative sur le Domaine. La fonction est strictement décroissante.
[tex]\lim_{x \to +\infty}\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}=0[/tex]
Donc : [tex]f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}=\ln(x+1)-\ln(x) -\frac{1}{x+1}[/tex] est strictement positive...
Donc [tex]\ln(x+1)-\ln(x)>\frac{1}{x+1}[/tex]
Je regarde la suite...
@+
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#9 21-07-2010 12:27:34
- yoshi
- Modo Ferox
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Re : Dérivée et ln
Re,
'lut freddy, c'est la conclusion que je m'apprêtais à mettre en ligne...
Je ne sais pas comment tu as procédé, mais voilà ma conclusion sur le chemin à prendre.
Je note [tex]v(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+\frac{x^3}{3}- \tan(x)}{x^5}[/tex]
Et comme f(x) sur g(x) a la même limite que f'(x)/g'(x), donc f'(x)/g'(x) a même limite que f"(x)/g"(x)... au voisinage de 0 tant que je me retrouve avec une forme indéterminée 0/0...
Comme j'aboutissais encore à la forme 0/0 j'ai utilisé les dérivées jusqu'à n'avoir plus de x au dénominateur...
@+
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#12 21-07-2010 13:44:21
- freddy
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Re : Dérivée et ln
'lut,
yep, comme toi yoshi, sauf qu'au début, j'ai fait un petit DL(5) de tang(x) au voisinage de 0 pour bien m'assurer de ce que je devais trouver comme limite.
L'hospital, j'ai découvert ça dans un livre de Sup d'un grand oncle (broché à son nom, datant de 1932 ...) ... je m'en suis souvent servi, avant d'utiliser les DL(n)
Brisbane
Dernière modification par freddy (21-07-2010 17:46:55)
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#13 21-07-2010 14:07:26
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
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Re : Dérivée et ln
Re,
Bonne idée le DL(5), moi j'ai très prosaïquement et préalablement tracé la fonction avec un grapheur, et j'avais trouvé -0,1333... pour 0 : j'en avais donc inféré que je devais tomber sur -2/15...
C'était moins sûr et j'ai mis un bon moment pour penser à dériver, dériver, dériver...
Exercice pas banal quand même...
@+
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#15 21-07-2010 16:51:47
- yoshi
- Modo Ferox
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Re : Dérivée et ln
Re,
J'ai dit : pas banal, parce que je n'ai pas souvenir que ça me soit déjà arrivé depuis que je fais de des maths de ce niveau...
Si ça peut te rassurer davantage...
Ensuite c'est -2/15 en non 2/15...
J'ai toujours mis un point d'honneur à ne pas seulement donner à mes élèves non seulement le "Comment on fait" de la solution, mais aussi le "Pourquoi j'ai été amené à penser à cette solution" pensant que c'était largement aussi instructif
Alors comment ai-je été amené à penser à cette méthode (vu que ça ne m'est jamais arrivé) ?
Après avoir essayé pas mal de factorisations de sous-factorisations où je tombais systématiquement sur 0/0, je me suis dit que j'avais fait le tour de la question (c'est là qu'il faut avoir confiance dans sa capacité à calculer sans faute)..
Mais que pourtant l'indication "utiliser règle de l'Hospital" n'était pas une indication pour faire joli... Or toutes les applic directes me menaient droit dans le mur, j'en ai donc conclu que ça devait "un peu" sortir de l'ordinaire et j'ai commencé à examiner d'un peu plus près la dérivation.
J'ai porté attention aux coeff (dans l'optique de -2/15) et je me suis aussi demandé ce qui "merdait" (l'habitude de la résolution de combinaisons aux Echecs)...
A partir de ces questions, j'ai assez vite vu que c'était la faute du 0 au dénominateur dû à x^5 puis à 5x^4 (mais que là plus de x^1 ni de x^3/3 remplacé par x² au numérateur)...
Quand il est arrivé jusqu'à mon entendement que le degré de x du dénominateur baissait aussi à chaque dérivation, j'ai alors enfilé les dérivées comme des perles et je suis bien parvenu à -2/15...
Ça t'apporte quelque chose ?
@+
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#16 21-07-2010 17:26:21
- debmaths
- Membre
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Re : Dérivée et ln
Merci yoshi pour cette explication pédagogique. En effet il fallait raisonner à partir du dénominateur mais je ne connais la règle de l'Hospital que depuis 2 semaines et il ne m'est pas venu à l'esprit de faire des dérivées successives. J'avais bien calculé -2/15.
Je profite de t'avoir sous la main, je rame ferme sur un exercice. J'ai déjà demandé ton aide à ce sujet:
Nous avons démontré que:
[tex]\frac{1}{x+1}<\ln \left(x+1\right)-\ln x<\frac{1}{x}[/tex]
Et maintenant on me demande: en déduire la limite quand n tend vers +[tex]\infty[/tex] de! [tex]\sum^{n}_{p=1}\frac{1}{p}[/tex]
J'ai regardé sur Internet bien sûr et je tombe sur la constante d'Euler-Mascheroni. Je suis sûr que ce n'est pas cela car elle n'est pas dans mes cours:
[tex]\alpha =\lim \,n->\infty \sum^{n}_{k=1}\frac{1}{k}-\ln \left(n\right)[/tex]
Merci beaucoup pour ton aide et tes conseils.
Cordialement
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#17 21-07-2010 17:44:51
- freddy
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Re : Dérivée et ln
Salut,
Non, pas de lien sauf à savoir que l'idée de calculer cette constante est venue après s'être aperçu que la limite qu'on te demande de déduire est très particulière ...
Lis bien le sujet : "en déduire ..." !
C'est dans le détail que se cache le diable.
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#18 21-07-2010 18:09:04
- debmaths
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Re : Dérivée et ln
J'avais vu que si je mettais :
[tex]\ln \frac{x+1}{x}=\frac{1}{x}[/tex]
Je trouvais [tex]\sum^{+\infty }_{n=1}\frac{1}{p}=\ln \left(n+1\right)[/tex]
Mais si c'est cela je ne vois pas comment transformer un < en =
Si tu as le temps ça va sinon cela peut attendre demain.
Au point de vue anecdote, tu parles de "diable", depuis mon enfance c'est mon surnom ou alors "lucifer" , vas savoir pourquoi !!!
Cordialement
SUITE
Je crois avoir compris si je mets = [tex]\frac{1}{x+1}[/tex] je trouve le même résultat de somme. Si mon raisonnement est bon cela voudrait dire que si je mets une borne de départ à la somme, par exemple n=p il faudrait soustraire à la somme ln p
Dernière modification par debmaths (21-07-2010 18:28:02)
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#19 21-07-2010 22:53:36
- freddy
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Re : Dérivée et ln
Re,
tu y es presque. Tu as montré que :
[tex]\forall x \geq 1,\;\ln \frac{x+1}{x} < \frac{1}{x}[/tex]
Donc :
[tex]\sum^{n }_{p=1}\frac{1}{p} > \ln \left(n+1\right)[/tex]
Il ne te reste plus qu'à conclure quand n est de plus en plus grand ...
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#20 22-07-2010 00:11:54
- debmaths
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Re : Dérivée et ln
Bonsoir ou bonjour !!
Désolé mais je dois avoir mes neurones qui faiblissent.
J'ai prouvé que :
[tex]\sum^{a}_{k=1}\frac{1}{k}>\ln \left(a+1\right)\,\,\,[/tex]
et
[tex]\sum^{a}_{k=1}\frac{1}{k+1}<\ln \left(a+1\right)[/tex]
Donc : [tex]\sum^{a}_{k=1}\frac{1}{k}>\ln \left(a+1\right)>\sum^{a}_{k=1}\frac{1}{k+1}[/tex]
Tu me dis de voir quand "a" tend vers +[tex]\infty[/tex]
Je ne vois rien, comment trouver une égalité à partir d'inégalités ????
Bon Je vais me coucher mais ça va me tourner dans la tête.
Cordialement
Dernière modification par debmaths (22-07-2010 00:20:20)
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#22 22-07-2010 09:46:42
- debmaths
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Re : Dérivée et ln
Bonjour,
Passé une mauvaise nuit comme prévu.
Si je fais tendre n vers [tex]\infty[/tex] [tex]\ln \left(n+1\right)\,tend\,vers\,\infty \,!!!![/tex]
Si c'est la réponse je l'avais vue depuis le début mais je cherchais une valeur finie.
Et-ce que c'est ça, si oui je vais aller me promener pour me calmer.
Cordialement
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#24 22-07-2010 10:24:15
- debmaths
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Re : Dérivée et ln
Merci pour tout.
Je vais faire mon possible mais je crains que j'aurai encore ( le plus tard possible ) besoin de vos lumières.
Quant au sommeil je travaillais dans le privé et les 35 h étaient plutôt les 60 h. Enfin ne parlons pas politique et je peux maintenant m'adonner aux plaisirs des maths.
Cordalement
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